કોણીય અને રેખીય ગતિના ચલને સંબંધિત કરવા

અગાવું ના વિડીઓમાં આપણે કોણીય વેગ ના ગતિના ચલ ને આપણે વ્યાખ્યાયિત કર્યા અને આપણે એ પણ જોયું કે વર્તુળ માં પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુ માટે સામાન્ય ગતિના ચલ ને બદલે તેઓ ઘણા ઉપયોગી છે ધારો કે આ ટેનિશ બોલ ને તમે દોરી વડે બાંધેલો બાંધ્યો છે તમે અને તેને વર્તુળ માં ફેરવી રહ્યા છો ટેનિશ બોલ સહીત દોરી પરના દરેક બિંદુ પાસે સમાન કોણીય સ્થનાંતર કોણીય વેગ અને કોણીય પ્રવેગ હશે ફરી પરિભ્રમણીય ગતિના પ્રશ્નો માટે કોણીય ગતિના ચલ નો ઉપયોગ કરવો ખુબ સરળ છે કોણીય ગતિના ચલ ને સામાન્ય ગતિ ના ચલ સાથે કઈ રીતે સંબધિત કરી શકાય સૌથી સરળ કોણીય ગતિ માટે નું ચાલ કોણીય સ્થનાંતર છે કારણકે વસ્તુ કાયા ખૂણે પરિભ્રમણ કરે છે તે દર્શાવે અહીં તેણે આટલું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કર્યું આપણે કોણીય સ્થનાંતર ને અહીં તેને ડેલ્ટા થીટા વડે દર્શાવી શકીએ દર્શાવે અહીં આ કોણીય સ્થનાંતર એટલે કે એન્ગ્યુલર ડિસ્પ્લેસમેન્ટ છે આપણે તેને રેડિયન માં માપીએ છીએ હવે આપણે તેને સામાન્ય ગતિના ચલના રેડિયન માં કઈ રીતે ફેરવી ભેળવી રીતે સામાન્ય રીતે સામાન્ય ગતિનો ચલ કયો છે અહીં આ કોણીય સ્થનાંતર છે તેને રેખીય સ્થનાંતર સાથે કઈ રીતે સંબધિત કરી શકાય તેના ,અંતે તમે કદાચ આવું વિચારશો બોલ એ આ બિંદુથી શરૂઆત કર્યું અને પછી અહીં પૂરું કર્યું તેથી આ બિંદુથી આ બિંદુ સુધીનું અંતર એ બોલ નું રેખીય સ્થનાંતર થાય તે થોડો અયોગ્ય છે તે કઈ રીતે શોધી શકાય તે હું તમને બતાવીશ નહિ તમને કદાચ તમે કોસાઈન નો નિયમ ના નો ઉપયોગ કરી પરંતુ તે એટલું ઉપયોગી નથી તેના કરતા પણ એ એક એટલી ઉપયોગી રાશિ છે જે બતાવે કે બોલ કેટલો દૂર સુધી ગયો અને તે બોલ ની ચાપ લંબાઈ થશે તેથી બોલ વર્તુળ ની ફરતે આ પથ પર ગતિ કરશે અહીં આ બોલ ની ચાપ લંબાઈ થશે ચાપ લંબાઈ એ ઘણા ઉપયોગી થશે ઘણો તેનાથી અને આ સામાન્ય સ્થનાતર શોધવું સરળ છે ઘણા પુસ્તકમાં તેના માટે S વપરાય છે તમને થશે કે આ શોધવું અઘરું છે પરંતુ જો તમે રેડિયન નો ઉપયોગ કરો ટન તમે તો છે જો તમે આ ટેનિશ બોલ ની છાપ લંબાઈ શોધવા માંગતા હોવ તો આપણે તેના વર્તુળ આકાર પથ ની ત્રિજ્યા લઈએ લઈશું અને આ કેન્દ્ર દિશામાં તે દોરીની લંબાઈ થશે અને આપણે તેને ત્રિજ્યા તરીકે લઈએ અને તેને જો આપણે રેડિયન માં માપીએ આપણે તેને ત્રિજ્યા તરીકે લઈએ અને જો આપણે તેને રેડિયન માં માપીએ તો ત્યાર બાદ આપે કોણીય સ્થનાંતર ગુણીએ માટે રેડિયન લખુબ જ સરળ છે આપણે માપન રેડિયન માં લઇએ છે અને પછી વસ્તુ આકાર તેના પથની અને વર્તુળના પથની ત્રિજ્યા વડે ગુણીએ છીએ તેથી આપણને ચાપ લંબાઈ મળશે જે વસ્તુએ કરેલા પથ ની મુસાફરીની લંબાઈ છે અને તે મીટર માં છે અહીં આ કામ કરશે અને કારણકે રેડિયનમઃ ને આજ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય અહીં એક રેડિયન એટલે તમે ક્યાં ખૂણે મુસાફરી કરી તે ચાપ લંબાઈ બરાબર વર્તુળની ત્રિજ્યા આ આ નવું નથી આ આપણે આ એકમનો ઉપયોગ કરીને સરળતા થી કઈ કેટલા રેડિયન પરિભ્રમણ કર્યું અને ચાપ માંથી તેને કેટલા મીટર પરિભ્રમણ કર્યું મુસાફરી કરી તેની વચ્ચે ફેરવી શકીએ આપણે ત્રિજ્યા ને મીટર માં માપીએ છીએ તેથી ચાપ લંબાઈ નો એકમ મીટર આમ તેને કેટલા ખૂણે પરિભ્રમણ કર્યું અને તેને કેટલા મીટર મુસાફસરી કરી તેમની વચ્ચેનું આ એક સંબધ છે હવે આપણે કોણીય વેગ અને સામાન્ય વેગ વચ્ચેના સંબધ ની વાત કરી રહ્યા છીએ કરીશું આપણે અગાવું ના વીડિયોમાં જોઈ ગયા કે કોણીય વેગ બરાબર એટલે કે એન્ગ્યુલર વેલોસિટી બરાબર કોણીય સ્થનાંતર બરાબર t સમય થશે આ કંઈક ચોક્સ ખૂણો ફરી રહ્યું છે તેનો દર છે અને આપણને આપણે કોણીય વેગ ને ગ્રીક શબ્દ ઓમેગા વડે દર્શાવ્યો હતો કોણીય વેગ દર્શાવે છે કે વર્તુળ માં કંઈક કાયા દરે ફરી રહ્યું છે જો તે ધીમે ફરતું હોય તો તે તેનો કોણીય વેગ નેનો હશે અને જો તે ઝડપ થી ફરતોય હોય તો તેનો કોણીય વેગ મોટો હશે આમ કોણીય ફવગેગ અને ઝડપ એક બીજા સાથે સંબધિત છે તમે કારણકે કોણીય વેગ વધારે તો ઝડપ જો વધારે પરંતુ તે સંબંધ શું છે આપણે કોણીય વેગ માંથી સામાન્ય વેગ કઈ રીતે મેળવી શકીએ આપણે અહીં ફક્ત રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ ને અને મીટર પ્રતિ રેડિયન સેકન્ડ માં ફેરવવાની જરૂર છે તેથી આપણે સમીકરણ ની બને બાજુએ r વડે ગુણીએ માટે આપણને r ગુણ્યાં ઓમેગા r ગુણ્યાં ઓમેગા બરાબર r ગુણ્યાં ડેલ્ટા થીટા ના છેદમાં ડેલ્ટા t મળશે પરંતુ r ગુણ્યાં ડેલ્ટા થીટા એ ચાપ લંબાઈ છે અહીં આ વસ્તુએ તે વર્તુળની ધાર ફરતે તેટલા લિકેટલા મીટરે મુસાફરી કરી તે છે માટે તેના બરાબર ચાપ લંબાઈ S ભાગ્યા ડેલ્ટા t જે સમય છે અને તેના બરાબર ઝડપ થાય ચાપ લંબાઈ એ વસ્તુએ મુસાફરી કરી કાપેલું અંતર તેને ભાગ્યા લીધેલો સમય અંતર ભાગ્યા સમય એ ઝડપ છે આમ અહીં આ વસ્તુ ની ઝડપ છે હું તેને v તરીકે લખીશ અહીં આ વસ્તુની ઝડપ છે તે વેગ નથી અને તે સદિશ પણ નથી કારણકે અહીં આ ચાપ લંબાઈ સ્થનાંતર નથી તે વસ્તુ એ કાપેલું અંતર છે તે અંતર ભાગ્યા સમય એ ઝડપ થાય અને સ્થનાંતર ભાગ્યા વેગ એ સમય થાય માટે આપણે ચાપ લંબાઈ એટલે કે અંતર નો ઉપયોગ કરીને કોણીય વેગ અને ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ આમ r ગુણ્યાં કોણીય વેગ બરાબર r ગુણ્યાં કોણીય વેગ બરાબર વસ્તુની ઝડપ થાય કોણીય વેગ અને ઝડપ વચ્ચેનો આ સંબંધ છે વસ્તુની ઝડપ બરાબર વસ્તુ જે પથ પર ગતિ કરે છે તેની ત્રિજ્યા ગુણ્યાં કોણીય વેગ આમ આ સૂત્ર રેડિયન માં વસ્તુએ કરેલી કરેલું પરિભ્રમણ અને વસ્તુએ કેટલું ચાપ લંબાઈ જેટલું જેટલી મુસાફરી કરી તેનો સંબંધ દર્શાવે છે અને આ સૂત્ર કોણીય વેગ ઓમેગા એટલે રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ અને કંઈક કેટલા મીટર પ્રતિ સેકન્ડ થી મુસાફરી કરી રહ્યું છે તેનું સંબંધ દર્શાવે બીજા શબ્દો માં કહીએ તો ચાપ લંબાઈ કેટલી સેકન્ડ મુસાફરી કરે છે તે દર્શાવે છે આમ આપણે કોણીય સ્થનાંતર અને કોણીય વેગ વસ્તુએ કેટલા મીટર મુસાફરી કરી તેમની વચ્ચેનું સંબંધ જાણીએ છીએ તેમ જ આપણે હવે કોણીય વેગ અને વસ્તુની વચ્ચે નો સંબંધ પણ જાણીએ છીએ હવે આપણે કોણીય પ્રવેગ અને સામાન્ય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવીએ જાણીએ કોણીય પ્રવેગ ને ગ્રીક શબ્દ આલ્ફા વડે પણ દર્શાવી શકાય તેના બરાબર કોણીય વેગમાં તથો ફેરફાર છેદમાં સમય માં તથો ફેરફાર કોણીય પ્રવેગ એટલે કે એન્ગ્યુલર એક્ષલેરેશન ને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય કોણીય વેગ ક્યાં દરે બદલાય રહ્યું છે તે છે જો તે અચળ દરે ફરતો હોય તો ત્યાં કોણીય પ્રવેગ હશે નહિ કારણકે ઓમેગા માં કોઈ ફેરફાર તથો નથી પરંતુ ઓમેગા ધીમે થી સારું થાય અને પછી ઝડપી બનતો જાય તો તે તમારી પાસે કોણીય પ્રવેગ હશે જો તમારી પાસે કોણીય પ્રવેગ હશે તો તમારી પાસે સામાન્ય પ્રવેગ પણ હશે જ કારણકે તે તેના કોણીય પરિભ્રમણ માં ઝડપથી ફરી રહ્યું છે તે તૅનૉવેગ પણ બદલશે આપણે કોણીય પ્રવેગ ને સામાન્ય પ્રવેગ સાથે કઈ રીતે સંબધિત કરી શકીએ તે રીતે આપણે સમીકરણની બાજુએ r વડે ગુણીયું કોણીય વેગ અને ઝડપ વચ્ચે નું સંબંધ મેળવ્યું તે જ રીતે આપણે અહીં પણ સમીકરણ ની બને બાજુ r વડે ગુણીએ જોઈએ તો શું મળે છે ડાબી બાજુ આપણને r ગુણ્યાં કોણીય પ્રવેગ મળશે અને તેના બરાબર r ગુણ્યાં ઓમેગા માં તથો ફેરફાર ભાગ્યા સમયમાં તથો ફેરફાર હવે જમણી બાજુ આપણને r ગુણ્યાં ડેલ્ટા ઓમેગા મળે જે r ગુણ્યાં ઓમેગા માં તથો ફેરફાર છે તેથી તેના બરાબર r ગુણ્યાં ઓમેગા તથો ફેરફાર એ અંતિમ ઓમેગા ઓછા પ્રારંભિક ઓમેગા છે ભાગ્યા ડેલ્ટા t આપણે r આ નું વિભાજન કરીએ તેથી તેના બરાબર r ગુણ્યાં અંતિમ ઓમેગા r ગુણ્યાં અંતિમ ઓમેગા ઓછા r ગુણ્યાંપ્રારંભિક ઓમેગા r ગુણ્યાં પ્રારંભિક ઓમેગા ભાગ્યા સમય માં તથો ફેરફાર હવે આપણે જાણીએ છીએ કે r ગુણ્યાં ઓમેગા એ વેગ નથી તે એ ઝડપ છે તેથી તેના બરાબર અંતિમ ઝડપ ઓછા પ્રારંભિક ઝડપ ભાગ્યા તેટલી ઝડપ બદલવા માટે લીધેલો સમય અને આના બરાબર r ગુણ્યાં આલ્ફા છે r ગુણ્યાં કોણીય પ્રવેગ હવે તેના બરાબર પ્રવેગ જે ઝડપમાં તથો ફેરફાર ભાગ્યા સમય છે જે મેં એ સદિશ છે જે વેગ માં તથો ફેરફાર ભાગ્યા સમય છે પરંતુ આ વેગ સદિશ નથી અહીં આ ઝડપ છે આ વેગ સદિશ નથી આ ઝડપમાં તથો ફેરફાર ભાગ્યા સમય છે હવે આ પ્રવેગ છે પરંતુ તે સંપૂર્ણપણે પ્રવેગ હોય એવું જરૂરી નથી પરંતુ તે પ્રવેગિત કરવાની બે રીત છે તમે ઝડપ બદલી શકો અથવા તમે દિશા બદલી શકો આ પ્રવેગ દિશા બદલવાને કારણે મળતો પ્રવેગ નથી તે ઝડપમાં તથો ફેરફાર ને કારણે મળતો પ્રવેગ છે હવે તેનો અર્થ શું થાય તે હું તમને સમજવું ધારો કે આ બોલ વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરી રહ્યો છે જો બોલ તેની ઝડપ વધારે કે ઘટાડે તો પણ તે પ્રવેગિત થવો જોઈએ અને આ બોલ પ્રવેગિત થાય કારણકે તે તેના વેગની દિશા બદલી રહ્યું છે તે કેન્દ્રગામી બળ છે આમ આ કિસ્સા માં તે તણાવ થશે તે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે જે બળ વેગની દિશા બદલી રહ્યું છે અને આ જુદો પ્રવેગ છે આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા અંદર ની તરફ હોય છે અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કઈ રીતે શોધી શકાય તે પણ આપણે જાણીએ છીએ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ બરાબર ઝડપ નો વર્ગ ભાગ્યા ત્રિજ્યા પ્રવેગ નો આ ઘટક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ વેગની દિશા બદલે છે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ વેગની દિશા બદલે આ મહત્વનું છે કારણકે પ્રવેગનો આ ઘટક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ જેનું મૂલ્ય v નો વર્ગ છેદમાં r છે જે તે વેગની દિશા બદલે જો કોઈ વસ્તુ વર્તુળ આકર ગતિ કરે તો તેનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોવો જ જોઈએ પરંતુ અહીં આ ઘટક જુદો છે તે ઝડપ ને બદલે છે જો તમે વર્તુળ આકાર ગતિ કરો તો આ હોવા ની જરૂર નથી ધારો કે કંઈક વર્તુળ માં અચળ દરે ગતિ કરી રહ્યું છે જો આમ થાય તો એની પાસે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે પરંતુ તેની પાસે આ બાબત હશે નહીં પરંતુ આ r ગુણ્યાં આલ્ફા બરાબર વસ્તુની ઝડપ માં તથો ફેરફાર પ્રતિ સમય જો હું જો હું અહીં દર્શાવવા માંગુ તો તે કઈ રીતે કરી શકાય આપણે ગતિ ની દિશાનું સ્પર્શક દોરીએ વર્તુળ નું સ્પર્શક કારણકે પ્રવેગનું ઘટક જે વેગની દિશાને લંબ હોય છે તે વેગની દિશા બદલશે પરંતુ પ્રવેગનું ઘટક વેગની ની દિશાને સમાંતર હોય છે તે એ વેગ ના મૂલ્ય ને એટલે કે ઝડપ ને બદલશે વેગનું મૂલ્ય બદલવું એટલે કે ઝડપ વધારવી અથવા ઘટાડવી માટે તમને પ્રવેગના એવા ઝડપ ઘટક ની જરૂર છે જે વેગની ગતિની દિશામાં હોય અથવા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય જો તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે તો તે પ્રવેગ ને ઓછો કરશે તે વસ્તુ ના પ્રવેગ ને ઓછો કરશે અને જો તે ગતિની દિશામાં જ હોય તો તે વસ્તુના પ્રવેગ ને વધારશે પ્રવેગનો તે આ ઘટક છે માટે r ગુણ્યાં આલ્ફા ને r ગુણ્યાં આલ્ફા ને ઘણી વાર સ્પર્શીય વેગ પણ કહી શકાય આપણે તેને સ્પર્શીય પ્રવેગ ને ઓળખીશું સ્પર્શીય પ્રવેગ બરાબર r ગુણ્યાં આલ્ફા ત્રિજ્યા ગુણ્યાં કોણીય પ્રવેગ પ્રવેગનો ઘટક જે વેગનું મૂલ્ય બતાવે એટલે કે ઝડપને બદલે છે તેના માટે તે ગતિનો સ્પર્શક હોવો જરૂરી છે r ગુણ્યાં આલ્ફા આ દર્શાવે છે આમ આ સ્પર્શીય પ્રવેગને શોધવાનું સૂત્ર છે તે તમને કુલ પ્રવેગ આપશે નહિ જો વસ્તુ વર્તુળ આકાર ગતિ કરતું હોય તો આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ નું એક ઘટક હંમેશા કેન્દ્રગામી હશે તમે તેને v નો વર્ગ ભાગ્યા r વડે ઉકેલી શકો પરંતુ જો વસ્તુ વર્તુળ આકાર ગતિં કરે અને તેની ઝડપ પણ વધતી હોય તો તેની પાસે પ્રવેગ નો આ ઘટક હશે જેને સ્પર્શીય પ્રવેગ કહેવાય જેને આપણે સ્પર્શીય પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અને બને ને સમજ્યા બને માંથી પ્રવેગ કયો છે આ બને કુલ પ્રવેગના ઘટકો છે તમે જ લોકો શોધી શકો તેથી કુલ પ્રવેગ નો વર્ગ બરાબર કુલ પ્રવેગ નો વર્ગ બરાબર તમે પાયથા પ્રમેય ગોરસ નો ઉપયોગ કરી શકો કારણકે આ બને કુલ પ્રવેગના લંબ ઘટકો છે આમ કુલ પ્રવેગ બરાબર સ્પર્શીય પ્રવેગ નો વર્ગ વતા કેન્દ્ર ગામી નો વર્ગ તમે દિશા શોધવા માંગો તો કુલ પ્રવેગની દિશા બરાબર આ થશે તે આ પ્રમાણે આવે ધારોકે વસ્તુની ઝડપ વધે છે અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અંદર ની તરફ છે અને તમારી પાસે આ તક નથી તમારી પાસે આ ઘટક અને આ ઘટક છે તેથી કુલ પ્રવેગની દિશા બરાબર આ પ્રમાણે આવશે તમે આ બે બાજુઓ ની સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ ની રચના કરો તો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ભાગ્યા આ બાજુ તમે કર્ણ શોધી શકો તમે કુલ પ્રવેગ બરાબર વર્ગમૂળ માં સ્પર્શીય પ્રવેગ વતા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નો વર્ગ આમ પ્રવેગના બે ઘટકો છે એક સ્પર્શીય પ્રવેગ જે r ગુણ્યાં આલ્ફા છે વસ્તુની ઝડપ વધે કે ઘટે અને બીજો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે જે વસ્તુના વેગની દિશા બદલે તમે r વડે ગુણી ને ઝડપ અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકો તમે ચાપ લંબાઈ એટલે કે વર્તુળની ધાર ફરતે વસ્તુએ કેટલા મીટરે મુસાફરી કરી તેનો અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ r વડે ગુણીને મેળવી શકો આમ અહીં આ ત્રણ સૂત્ર વડે કોણીય ગતિ અને સામાન્ય ગતિને સંબધિત કરી શકાય