જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શું છે?

દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા શીખો અને પછી તેની ગણતરી કઈ રીતે કરી શકાય તે શીખો.

દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શું છે?

પદાર્થોના તંત્ર અથવા પદાર્થોની સાપેક્ષમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલું સ્થાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. તે તંત્રના બધા જ ભાગોનું સરેરાશ સ્થાન છે, જે તેમના દળ મુજબ દળભારિત હોય છે.
નિયમિત ઘનતા સાથેના સરળ ઘન પદાર્થો માટે, દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યકેન્દ્ર આગળ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર આગળ હોય છે. કેટલીક વાર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આખા પદાર્થ પર ક્યાંય જોવા મળતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે રિંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર આગળ હોય છે જ્યાં કોઈ પદાર્થ હોતો નથી.
આકૃતિ 1: કેટલાક સરળ ભૌમિતિક આકારો માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (લાલ ટપકું).
ખુબ જ વધુ જટિલ આકારો માટે, આપણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વધુ સામાન્ય ગાણિતિક વ્યાખ્યા જોઈએ : તે અનન્ય સ્થાન છે જ્યાં તંત્રના બધા જ ભાગોના દળભારિત સ્થાન સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વિશે ઉપયોગી શું છે?

પદાર્થ અથવા તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વિશે સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ પર નિયમિત બળ કામ કરે છે. આ ઉપયોગી છે કારણકે તે યંત્રશાસ્ત્રના પ્રશ્નોને ઉકેલવાનું સરળ બનાવે છે જ્યાં આપણે વિચિત્ર-આકારના પદાર્થ અને જટિલ તંત્રની ગતિને દર્શાવવી પડે છે.
ગણતરીના હેતુ માટે, આપણે વિચિત્ર-આકારના પદાર્થોને એવી રીતે લઈ શકીએ જાણે કે તેનું બધું જ દળ નાના પદાર્થમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આગળ કેન્દ્રિત થયું હોય. આપણે કેટલીક વાર આ કાલ્પનિક પદાર્થને બિંદુ દળ કહી શકીએ.
જો આપણે ઘન પદાર્થને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આગળ ધક્કો મારીએ, તો પદાર્થ હંમેશા એવી રીતે ગતિ કરે જાણે કે એ બિંદુ દળ હોય. તે કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરશે નહિ, તેના સાચા આકારની પરવા કર્યા વગર. જો પદાર્થ પર કોઈ બીજા બિંદુ આગળ અસંતુલિત બળ લાગતું હોય, તો તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરવાની શરૂઆત કરે.

આપણે કોઈ પણ તંત્ર અથવા પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કઈ રીતે શોધી શકીએ?

સામાન્ય રીતે દળભારિત સ્થાન સદિશો જે તંત્રમાં દરેક પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બતાવે છે તેમનો સદિશ સરવાળો લઈને આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધી શકીએ એક ઝડપી રીત જે સદિશોના ગાણિતિક સરવાળાને અવગણે છે તે દરેક અક્ષ માટે ઘટકો સાથે સ્વતંત્ર રીતે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધવાની છે. દા.ત:
x અક્ષ સાથેના પદાર્થના સ્થાન માટે:
COMx=m1x1+m2x2+m3x3+m1+m2+m3+
અને તે જ સમાન રીતે y અક્ષ માટે:
COMy=m1y1+m2y2+m3y3+m1+m2+m3+
એકસાથે, આ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંપૂર્ણ યામ (COMx,COMy) આપે. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 2 માં બતાવેલા નિયમિત ઘનતાના ત્રણ સપાટ પદાર્થોના તંત્રને ધ્યાનમાં લો.
આકૃતિ 2: ત્રણ સમતલ પદાર્થોનું તંત્ર.
x દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:
14+16+2121+1+2=8.5
અને y દિશામાં:
15+112+28.51+1+2=8.5
જટિલ પદાર્થોને સરળ પદાર્થોના સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય, દરેક નિયમિત દળ સાથે. ત્યારબાદ આપણે દરેક ઘટક આકારને મધ્યકેન્દ્ર આગળ સ્થિત બિંદુ દળ તરીકે દર્શાવી શકીએ. પદાર્થમાં રહેલી ખાલી જગ્યાને ઋણ દળ સાથેના આકાર તરીકે દર્શાવી ગણતરીમાં લઇ શકાય.
આકૃતિ 3a માં બતાવેલા અનિયમિત-આકારના સમતલ, નિયમિત ઘનતાવાળા પદાર્થને ધ્યાનમાં લો.
આકૃતિ 3: (a) અનિયમિત આકારના સમતલ પદાર્થો. (b) પદાર્થોને સરળ આકારોમાં વિભાજીત કરી શકાય.
આકૃતિ 3b માં બતાવ્યા મુજબ પદાર્થને ચાર લંબચોરસ અને એક વર્તુળમાં વિભાજીત કરી શકાય. આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ આપણને ફક્ત સંબંધિત એકમમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં જ રસ છે. પદાર્થ પાસે નિયમિત ઘનતા છે તેથી દળ એ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં છે. સરળતા માટે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આપણે દરેક વિભાગના દળને 'ચોરસ' ના એકમમાં બતાવી શકીએ.
x દિશામાં, દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર:
1610+524+127.5+1610+(7.1)4.516+52+12+167.1=6.6
નોંધો કે વર્તુળાકાર ખાલી જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ π1.527.1 છે. આને આપણે ઋણ દળ તરીકે લઈશું.
y દિશામાં:
1613+527.5+127.0+162+(7.1)7.516+52+12+167.1=7.4

ગુરુત્વ કેન્દ્ર શું છે?

ગુરુત્વ કેન્દ્ર એક બિંદુ છે જ્યાંથી બિંદુ અથવા તંત્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. મોટે ભાગે યંત્રશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તેને નિયમિત ધારવામાં આવે છે. ગુરુત્વ કેન્દ્ર તદ્દન દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન પર જ હોય છે. શબ્દો ગુરુત્વ કેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઘણી વાર એકબીજાની જગ્યાએ ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે તેથી તેઓ ઘણીવાર એક જ જગ્યાએ હોય છે.

વાસ્તવિક પદાર્થો માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નક્કી કરવા વિશે શું છે?

ત્યાં કેટલીક ઉપયોગી પ્રાયોગિક કસોટીઓ છે જે ઘન ભૌતિક પદાર્થોના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને નક્કી કરવા કરી શકાય.
ટેબલ એજ રીત (આકૃતિ 4)નો ઉપયોગ ઓછામાં ઓછી એક સમતલ બાજુ સાથેના નાના ઘન પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધવા માટે થાય છે. પદાર્થને ચાકગતિ કરાવ્યા સિવાય ખુબ જ ધીમેથી ટેબલની સપાટી પર તેની ધાર સુધી ધક્કો મારવામાં આવે છે. એવું બિંદુ જ્યાં પદાર્થ નીચે પડવાની તૈયારીમાં હોય, ત્યાં ટેબલની ધારને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે છે. પદાર્થને પરિભ્રમણ કરાવીને પદ્ધતિનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. બે રેખાઓનું છેદ બિંદુ ટેબલના સમતલમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન આપે છે.
આકૃતિ 4: અનિયમિત પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધવા ટેબલ એજ રીતનો ઉપયોગ થાય છે.
પ્લમ્બ લાઈન રીત (આકૃતિ 5) એ એવા પદાર્થો માટે ઉપયોગી છે જે પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને મુક્ત રીતે લટકે છે. કાર્ડબૉર્ડના ટુકડાનો અનિયમિત આકાર પિન-બૉર્ડ પર લટકાવેલો છે તે એક સારું ઉદાહરણ છે. કાર્ડબૉર્ડ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પીનની આજુબાજુ મુક્ત લટકે છે અને સ્થાયી બિંદુ સુધી પહોંચે છે. પ્લમ્બ લાઇનને પિન પરથી લટકાવવામાં આવે છે અને પદાર્થ પર લાઈન માર્ક કરવા વપરાય છે. પીનને બીજા સ્થાન પર ખસેડવામાં આવે છે અને પદ્ધતિનું પુનરાવર્તન થાય છે. બે રેખાના છેદબિંદુની નીચે દ્રવ્યમાન નીચે આવશે.
આકૃતિ 5: અનિયમિત પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધવા પ્લમ્બ લાઈન રીતનો ઉપયોગ થાય છે.

દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ટોપલિંગ સ્ટેબિલિટી

દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની એક ઉપયોગીતા એ છે કે પદાર્થ ગબડે તે પહેલા તે કયા ખૂણા સુધી મહત્તમ વળી શકે તે શોધી શકાય.
આકૃતિ 6a ટ્રકનો આડછેદ બતાવે છે. ટ્રક પર ડાબી બાજુ ઘણી વધારે સામગ્રી મૂકવામાં આવી છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર લાલ ટપકાં તરીકે બતાવવામાં આવ્યું છે. લાલ લીટી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી નીચેની તરફ વિસ્તરેલી છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દર્શાવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ આ રેખા પર ટ્રકના આખા વજન પર લાગે છે.
જો ટ્રકને કોઈક θt ખૂણે રાખવામાં આવે (આકૃતિ 6b માં બતાવ્યા મુજબ) તો ટ્રક્નું બધું જ વજન ડાબા પૈડાંની સૌથી ડાબી બાજુની ધાર પર આવી જશે. જો ખૂણો હજુ વધારવામાં આવે તો બિંદુ રસ્તા પરના કોઈ પણ સંપર્ક બિંદુની બહાર જતું રહેશે અને ટ્રક ગબડી જાય તેની પુરી સંભાવના છે. આ ખૂણો θt ટોપલ લિમિટ છે.
આકૃતિ 6: હળવા ભાર સાથેની ટ્રકની ટોપલ લિમિટ.
સ્વાધ્યાય 1: આકૃતિ 7 માં બતાવ્યા મુજબ પદાર્થને જમણી બાજુ વાળવામાં આવી હોય તો નિયમિત ઘનતા માટે ટોપલ લિમિટ નક્કી કરો.
આકૃતિ 7: સ્વાધ્યાય 1 ટોપલિંગ પદાર્થ.

દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નિર્દેશ ફ્રેમ

જયારે ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં નિર્દેશ ફ્રેમ શબ્દનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો તે ગણતરીમાં દર્શાવેલી યામ પદ્ધતિ દર્શાવે છે. નિર્દેશ ફ્રેમ પાસે અક્ષનો ગણ અને ઊગમબિંદુ (શૂન્ય બિંદુ) હોય છે. મોટા ભાગના પ્રશ્નોમાં નિર્દેશ ફ્રેમ લેબોરેટરીની સાપેક્ષમાં નિશ્ચિત હોય છે અને સુસંગત (પણ યાદ્દચ્છિક) ઊગમબિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે. તેને લેબોરેટરી નિર્દેશ ફ્રેમ કહેવામાં આવે છે. તેમ છતાં, ક્લાસિકલ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં કોઈ પણ નિર્દેશ ફ્રેમનો ઉપયોગ શક્ય છે અને તેમાં ભૌતિકવિજ્ઞાનના નિયમો સાચા જ રહે છે. તેમાં એવી નિર્દેશ ફ્રેમનો પણ સમાવેશ થાય છે જે લેબોરેટરીની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો એક સૌથી ઉપયોગી ગુણધર્મ એ છે કે તંત્ર માટે ગતિમાન નિર્દેશ ફ્રેમનું ઊગમબિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરવા તેનો ઉપયોગ થઇ શકે. તે નિર્દેશ ફ્રેમને કેટલીક વાર COM ફ્રેમ કહેવામાં આવે છે. COM ફ્રેમ ખાસ કરીને અથડામણના પ્રશ્નોમાં ઉપયોગી છે. COM ફ્રેમમાં માપન કરાયેલું સંપૂર્ણ વ્યાખ્યાયિત વેગમાન હંમેશા શૂન્ય હોય છે. તેનો અર્થ એ થાય કે લેબોરેટરી નિર્દેશ ફ્રેમની સરખામણીમાં COM ફ્રેમમાં ગણતરી ઘણી જ સરળ બની જાય છે. એક સાદા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ:
આકૃતિ 9 માં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમાન દિશામાં ટ્રેક પર જતી બે ટ્રોલીને ધ્યાનમાં લો. ડાબી બાજુની ટ્રોલી ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે તેથી ત્યાં અનિવાર્યપણે સંઘાત થશે. ધરી લઈએ કે આ સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક છે. સંઘાત પછી વેગ શું છે?
આકૃતિ 9: સંઘાત પામવાની નજીક બે ગતિ કરતી ટ્રોલીઓ : COM ફ્રેમમાં સંઘાતનું નિરીક્ષણ કરવું ખુબ સરળ છે.