મુખ્ય વિષયવસ્તુ

Course: ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત) > Unit 11

Lesson 6: ચાકગતિમાં જડત્વ અને કોણીય બીજો નિયમ

ચાકગતિમાં જડત્વ

દળનું વિતરણ કઈ રીતે કોણીય પ્રવેગ થવાની જટિલતાને કઈ રીતે અસર કરી શકે તે શીખો.

ચાકગતિમાં જડત્વ શું છે?

ચાકગતિમાં જડત્વ કોઈ પણ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે જે પરિભ્રમણ કરે છે. તે અદિશ કિંમત છે જે આપણને જણાવે છે કે આપેલા પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થનો પરિભ્રમણીય વેગ બદલવો કેટલો મુશ્કેલ છે.

ચાકગતિ યંત્રશાસ્ત્રમાં ચાકગતિમાં જડત્વ રેખીય યંત્રશાસ્ત્રમાં દળને સમાન ભૂમિકા જ ભજવે છે. પદાર્થનું ચાકગતિમાં જડત્વ તેના દળ પર આધાર રાખે છે. તે પરિભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષમાં તે દળના વિતરણ પર પણ આધાર રાખે છે.

જ્યારે દળ પરિભ્રમણ અક્ષથી ઘણું દૂર જાય ત્યારે તંત્રના પરિભ્રમણીય વેગને બદલવું ઘણું જ અઘરું બની જાય છે. કારણકે હવે દળ પાસે વધુ વેગમાન છે (વધારે ઝડપને કારણે)અને વેગમાન સદિશ હવે ઝડપથી બદલાય છે. આ બંને અસર અક્ષથી અંતર પર આધાર રાખે છે.

ચાકગતિમાં જડત્વની સંજ્ઞા

I

વડે આપવામાં આવે છે.એક જ પદાર્થ જેમ કે

m

દળનો ટેનિસ બોલ (આકૃતિ 1 માં બતાવેલો), પરિભ્રમણ અક્ષથી

r

ત્રિજ્યા આગળ પરિભ્રમણ કરે છે તેનું ચાકગતિમાં જડત્વ

I = m r^{2}

અને પરિણામે ચાકગતિમાં જડત્વનો એકમ

kg \cdot m^{2}

છે.

ચાકગતિમાં જડત્વને સામાન્ય રીતે જડત્વની ચાકમાત્રા પણ કહેવામાં આવે છે. તેને ઘણીવાર દળની બીજી ચાકમાત્રા પણ કહેવામાં આવે છે; અહીં 'બીજી' બતાવે છે કે ચાકમાત્રા ભુજાની લંબાઈના વર્ગ પર આધાર રાખે છે.

ચાકગતિમાં જડત્વ ન્યૂટનના 2ⁿᵈ નિયમ સાથે કઈ રીતે સંબંધિત છે?

ચાકગતિમાં જડત્વ ન્યુટનના બીજા નિયમના ચાકગતિ સ્વરૂપમાં દળની જગ્યા લે છે.

દળરહિત સળિયાના એક છેડા સાથે બાંધેલા દળ

m

ને ધ્યાનમાં લો. સળિયાના બીજા છેડાને લટકાવવામાં આવ્યો છે જેથી તંત્ર આકૃતિ 2 માં બતાવ્યા મુજબ મધ્યસ્થ બિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરી શકે.

આપણે દળને સ્પર્શીય બળ

F_{T}

લગાડીને તંત્રનું પરિભ્રમણ કરાવવાની શરૂઆત કરી શકીએ. ન્યૂટનના બીજા નિયમ પરથી,

F_{T} = m a_{T}

જેને આ મુજબ પણ લખી શકાય

F_{T} = m (r α)

ન્યુટનનો 2ⁿᵈ નિયમ બળને પ્રવેગ સાથે સાંકળે છે. ચાકગતિ યંત્રશાસ્ત્રમાં ટૉર્ક

τ

બળની જગ્યા લે છે. બંને બાજુ ત્રિજ્યા વડે ગુણાકાર કરતા આપણને જોઈતી પદાવલિ મળશે.

\begin{aligned} F_{T} r & = m (r α) r \\ τ & = m r^{2} α \\ τ & = I α \end{aligned}

આ પદાવલીને ટૉર્ક તરીકે જાણીતા દળની વર્તણુક શોધવા માટે હવે ઉપયોગમાં લઇ શકાય.

સ્વાધ્યાય 1a:

ચાકગતિમાં જડત્વ $0.1 kg m^{2}$ ‍ સાથે ફ્લાયવ્હીલ વડે જોડાયેલી મોટર $100 Nm$ ‍ અચળ ટૉર્ક અને મહત્તમ પરિભ્રમણ ઝડપ $150 rad / s$ ‍ ઉત્પન્ન કરી શકે છે. મોટરને ચાલુ કરવામાં આવે ત્યારે ફ્લાયવ્હીલ કેટલા કોણીય પ્રવેગનો અનુભવ કરશે?

સ્વાધ્યાય 1b:

સ્થિર અવસ્થાથી શરૂઆત કરે તો ફ્લાયવ્હીલને અચળ ઝડપ સુધી પહોંચતા કેટલો સમય લાગી શકે?
પરિભ્રમણીય ગતિકી નો ઉપયોગ કરીને,
$ω = ω_{0} + α t$ ‍
આપણે મોટરનો મહત્તમ પરિભ્રમણ વેગ જાણીએ છીએ, તેથી તે વેગને પ્રવેગ સુધી પહોંચવા કેટલો સમય લાગે એ માટે ઉકેલી શકાય.
$\begin{aligned} t & = \frac{ω_{\max}}{α} \\ = \frac{150 rad / s}{1000 rad / s^{2}} \\ = 0.15 s \end{aligned}$ ‍

આપણે વ્યાપક રીતે ચાકગતિમાં જડત્વની ગણતરી કઈ રીતે કરી શકીએ?

ઘણી વાર યાંત્રિક તંત્રો એકબીજા સાથે જોડાયેલા ઘણા બધા દળ, અથવા જટિલ આકારના બનેલા હોય છે.

દરેક દળના ચાકગતિમાં જડત્વનો સરવાળો કરીને કોઈ પણ અક્ષને અનુલક્ષીને કોઈ પણ આકાર માટે કુલ ચાકગતિમાં જડત્વની ગણતરી કરવી શક્ય છે.

\begin{aligned} I & = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots \\ = Σ m_{i} r_{i}^{2} \end{aligned}

સ્વાધ્યાય 2a:

આકૃતિ 3(a) માં બતાવેલા પદાર્થને ધ્યાનમાં લો. ચાકગતિમાં જડત્વ શું છે?

સ્વાધ્યાય 2b:

જુદા અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરતા સમાન તંત્રની વૈકલ્પિક આકૃતિ 3(b) ને ધ્યાનમાં લો. આ પરિસ્થિતિમાં ચાકગતિમાં જડત્વ શું હોઈ શકે?
દળનું તંત્ર અગાઉની જેમ સમાન જ છે, તેઓ હવે ખુબ જ નજીકની અક્ષ પર પરિભ્રમણ કરી રહ્યા છે. બધું જ પરિભ્રમણ અક્ષના અંતરના વર્ગ પર આધાર રાખે છે, તેથી આપણે અનુમાન લગાવી શકીએ કે ચાકગતિમાં જડત્વ ઓછું હશે.
$\begin{aligned} I & = (2 kg \cdot {0.5}^{2} m^{2}) + (1 kg \cdot {0.5}^{2} m^{2}) + (1 kg \cdot {0.5}^{2} m^{2}) + (1 kg \cdot {0.5}^{2} m^{2}) \\ = 1.25 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍

આપણે જટિલ આકારનું ચાકગતિમાં જડત્વ કઈ રીતે શોધી શકીએ?

વધુ જટિલ આકાર માટે, ચાકગતિમાં જડત્વ શોધવા માટે કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. તેમછતાં, ઘણા સામાન્ય ભૌમિતિક આકાર માટે પુસ્તકો અથવા બીજા સ્ત્રોતમાં ચાકગતિમાં જડત્વ માટે સમીકરણનું ટેબલ શોધવું શક્ય છે. આ સામાન્ય રીતે મધ્યકેન્દ્રને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરતા આકાર માટે ચાકગતિમાં જડત્વ આપે છે (જે ઘણી વાર આકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ને અનુરૂપ છે).

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિજ્યા

r

સાથે મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરતા ઘન નળાકારનું ચાકગતિમાં જડત્વ

I = \frac{1}{2} m r^{2}

અને અનુક્રમે અંદર અને બહારની ત્રિજ્યા

r_{i}

અને

r_{o}

સાથે પોલા નળાકાર માટે,

I = \frac{m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2})}{2}

બીજા સરળ આકારો માટેની પદાવલિ આકૃતિ 4 માં બતાવેલી છે.

જટિલ આકારને ઘણીવાર સરળ આકારના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય જેના માટે ચાકગતિમાં જડત્વનું જાણીતું સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. પછી આપણે સંયોજીત પદાર્થની ચાકગતિમાં જડત્વ શોધવા માટે બધાને ભેગા કરી શકીએ.

જ્યારે સરળ આકારોને ભેગા કરીએ ત્યારે એક સમસ્યા એ આવે છે કે સમીકરણ આપણને આકારના મધ્યકેન્દ્ર ને અનુલક્ષીને ચાકગતિમાં જડત્વ આપે છે અને આ આપણા સંયોજીત આકારના પરિભ્રમણ અક્ષને અનુરૂપ જ હોય એ જરૂરી નથી. આપણે સમાંતર અક્ષ પ્રમેય નો ઉપયોગ કરીને આની ગણતરી કરી શકીએ.

સમાંતર અક્ષ પ્રમેય આપણને બિંદુ

o

ને અનુલક્ષીને પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા દે છે કારણકે આપણે મધ્યકેન્દ્ર

c

, દળ

m

, તેમજ બિંદુઓ

o

અને

c

વચ્ચેના અંતર

d

ને અનુલક્ષીને પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા જાણીએ છીએ.

I_{o} = I_{c} + m d^{2}

મહાવરો 3:

નીચેની આકૃતિ 5 માં બતાવેલો આકાર ત્રણ $10 mm$ ‍ જાડી ધાતુની તકતીને (દરેકનું દળ $50 kg$ ‍) દળ $100 kg$ ‍ સાથેની ધાતુની રીંગ સાથે જોડીને બનાવવામાં આવ્યો છે. જો મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરે, (પાનાની બહાર) તો પદાર્થનું ચાકગતિમાં જડત્વ શું છે?
ઉકેલ:
આપણે ચાર ઘટકના સ્વતંત્ર રીતે ચાકગતિમાં જડત્વ શોધીને શરૂઆત કરી શકીએ.
પોલા નળાકાર માટે આપેલા અગાઉના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મોટી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{b}$ ‍ શોધી શકીએ. આ ઘટકનું મધ્યકેન્દ્ર પહેલેથી જ અંતિમ ભાગના પરિભ્રમણ અક્ષ સાથે મળતું આવે છે તેથી કોઈ સુધારો જરૂરી નથી.
$\begin{aligned} I_{b} & = \frac{1}{2} m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2}) \\ = \frac{1}{2} (100 kg) \cdot ({0.75}^{2} + 1^{2}) m^{2} \\ ≃ 78.125 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
નાની તકતી માટે સમાન પદ્ધતિનો જ ઉપયોગ કરીને, હવે પોતાના જ પરિભ્રમણ અક્ષ માટે:
$\begin{aligned} I_{s} & = \frac{1}{2} m r_{c}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot (50 \cdot kg) (0.30 m)^{2} \\ = 2.25 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
આ દરેક તકતીઓ તેમના મધ્યકેન્દ્રથી દૂર અંતર $d$ ‍ આગળ બિંદુને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરે છે તેથી આપણે અસરકારક ચાકગતિમાં જડત્વ $I_{s}^{'}$ ‍ શોધવા માટે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
$d = \frac{1}{2} (1 + 0.75) = 0.875 m$ ‍
$\begin{aligned} I_{s}^{'} & = I_{s} + m d^{2} \\ = (2.25 kg \cdot m^{2}) + (50 kg) \cdot (0.875 m)^{2} \\ ≃ 40.5 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
ત્રણ નાની તકતીમાં દરેક પાસે પરિભ્રમણ અક્ષથી ત્રિજ્યા સમાન છે, તેથી આપણે તેમને ચાકગતિમાં જડત્વના ત્રણ ગણા સાથે એક ભાગ તરીકે લઈ શકીએ. અંતે, પદાર્થનું ચાકગતિમાં જડત્વ:
$\begin{aligned} I & ≃ 78 + 3 \cdot 40.5 \\ ≃ 200 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍

ચાકગતિમાં જડત્વ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં બીજી કઈ જગ્યાએ આવે છે?

ચાકગતિમાં જડત્વ ભૌતિકવિજ્ઞાનના લગભગ બધા જ પ્રશ્નોમાં મહત્વનું છે જેમાં ચાકગતિમાં દલનો સમાવેશ થાય છે. કોણીય વેગમાનની ગણતરીમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે અને તે આપણને સમજાવે છે કે જ્યારે દળનું વિતરણ બદલાય ત્યારે ચાકગતિ કઈ રીતે બદલાય છે (કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ). ઊર્જા શોધવા પણ તે જરૂરી છે જે ફ્લાયવ્હીલમાં ચાકગતિમાં ગતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહ પામે છે.

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.