કોયડો: ન્યૂટનનો શીતનનો નિયમ

હવે ન્યુટનના સિટનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક મહાવરો જોઈએ ધારો કે T એ કોઈક વસ્તુનું તાપમાન ડિગ્રી સેલ્સિયસમાં છે અને સ્મોલ t એ મિનિટમાં સમય છે તો આપણે અહીં કહી શકીએ કે સમયની સાપેક્ષે તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર બરાબર -k અહીં અચળાંક k એ ધન છે ગુણ્યાં વસ્તુનું તાપમાન ઓછા પરિસરનું તાપમાન તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ પદાર્થનું તાપમાન અને પરિસરના તાપમાનના તફાવતના સમ પ્રમાણમાં છે અહીં ઋણ શા માટે છે જો પદાર્થનું તાપમાન એ ઓરડાના તાપમાન કરતા વધારે હોય તો અહીં આપણું તાપમાન ઘટી રહ્યું છે માટે આપણા તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર ઋણ હશે સમયની સાપેક્ષે તાપમાન ઘટવું જોઈએ અને બીજી રીતે જો પદાર્થનું તાપમાન ઓરડાના તાપમાન કરતા ઓછું હોય તો અહીં આ પદ ઋણ થાય પરંતુ આપણને આપણા ફેરફારનો દર ધન જોઈએ છે તેથી આ માઇનસ લખ્યું છે કારણ કે માઇનસ ગુણ્યાં માઇનસ ધન થશે હવે આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા કે અહીં આ વિકલ સમીકરણ છે અને આપણે તેનો સામાન્ય ઉકેલ પણ જોઈ ગયા અહીં મારા માટે જે સામાન્ય ઉકેલ મહત્વનો છે તે હું લખીશ કારણ કે આપણે એવી પરિસ્થિતિ લઇ રહ્યા છીએ જેમાં આપણે એક ગરમ વાસણને ઓરડાના તાપમાનમાં ઓરડામાં મૂકી રહ્યા છીએ આપણે અહીં એવી પરિસ્થિતિ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ જ્યાં t > ઓર ઈક્વલ ટુ t સબ a થાય અને આ પરિસ્થિતિમાં આપણો સામાન્ય ઉકેલ T સમયના વિધેય તરીકે c ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત + ઓરડાનું અથવા પરિસરનું તાપમાન T સબ a ફરીથી આપણે આ અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા હવે આપણે તેનો ઉપયોગ કરીએ મેં હમણાંજ કહ્યું કે આપણે એવી પરિસ્થિતિ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ જ્યાં પદાર્થનું તાપમાન એ પરિસરના તાપમાન જેટ્લુ જ કે તેના કરતા વધારે છે ધારો કે પરિસરનું તાપમાન 20 ડિગ્રી સેલ્સિયસ છે અને આપણે એ ધરી લઈએ કે સમયની સાપેક્ષે તે બદલાતું નથી આપણો રૂમ ખુબ જ મોટો છે અને તેમાં આપણે કોઈ પણ હુંફાળી વસ્તુને મૂકીએ તો પણ આ પરિસરનું તાપમાન બદલાતું નથી હવે જયારે આપણે T = 0 આગળ આપણું ગરમ વાસણ રૂમમાં મૂક્યું ત્યારે તેનું તાપમાન 80ડિગ્રી સેલ્સિયસ છે હવે આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે બે મિનિટ પછી તેનું તાપમાન 60 ડિગ્રી સેલ્સિયસ છે માટે T ઓફ 2 =60 ડિગ્રી સેલ્સિયસ હવે આપેલી આ તમામ માહિતીઓનો ઉપયોગ કરીને અને ન્યુટનના સીતનના નિયમનો પણ ઉપયોગ કરીને તે વાસણનું તાપમાન 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ થવા કેટલો સમય લાગશે આમ તેને 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ સુધી થંડુ પાડવા કેટલી મિનિટ લાગે તે અહીં કેટલો સમય લે છે માટે વિડિઓ અટકાવો અને જાતે જ તેને શોધવાનો પ્રયત્ન કરો અને અહીં મુખ્ય ચાવી એ છે કે આ તમામ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને સૌ પ્રથમ c અને k માટે ઉકેલો જેથી તમને અહીં એક સમીકરણ મળશે અને પછી 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ તાપમાન મેળવવા તે કેટલો સમય લેશે તેના માટે ઉકેલી શકાય હવે સૌ પ્રથમ આપણે પરિસરનું તાપમાન જાણીએ છીએ અહીં ઓરડાનું તાપમાન 20 ડિગ્રી સેલ્સિયસ છે અહીં આ 20ડિગ્રી છે હવે જયારે T(0) લઈએ એટલે કે જયારે t=0 લઈએ ત્યારે અહીં આ 0 થઇ જશે અને e ની 0 ઘાત 1 થાય માટે T(0) લઈએ તો આપણને c + 20 મળે તેથી અહીં T(0) = 80 થશે આપણે ધારી લઈએ કે ડિગ્રી સેલ્સિયસમાં છે અને તેના બરાબર c ગુણ્યાં હવે e ની 0 ઘાત e ની 0 ઘાત એક જ થાય માટે આપણને અહીં c + 20 મળશે હવે c માટે ઉકેલવા સમીકરણની બંને બાજુએ 20 વડે બાદ કરીએ આ કેન્સલ થઇ જશે અને આપણને અહીં 80 - 20 = 60 મળે આમ c = 60 તેથી હવે આપણે જે જાણીએ છીએ તેની કિંમત અહીં મૂકીએ T(t) = 60 ગુણ્યાં eની -kt ઘાત + 20 હવે આપણે અહીં k માટે ઉકેલીએ અને હવે k માટે ઉકેલવા આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ T(2) = 60 ડિગ્રી સેલ્સિયસ અહીં t = 2 લઈએ માટે 60 = 60 ગુણ્યાં e ની અહીં t ની જગ્યાએ 2 લઈએ માટે e ની -2k ઘાત + 20 હવે k માટે ઉકેલવા સમીકરણની બંને બાજુએથી 20 બાદ કરીએ માટે 40 = 60 ગુણ્યાં e ની -2k ઘાત હવે બંને બાજુ 60 વડે ભાગીએ તેથી આપણને 2 ના છેદમાં 3 મળશે = e ની -2k ઘાત હવે બંન બાજુ નેચરલ લોગ લઈએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ 2/3= નેચરલ લોગ ઓફ eની -2k ઘાત બરાબર -2k થાય હવે k શોધવા સમીકરણની બંને બાજુએ -2 વડે ભાગીએ તેથી k = -1 /2 મેં અહીં બાજુઓને બદલી છે ગુણ્યાં નેચરલ લોગ ઓફ 2 /3 આમ આપણે બધા જ અચલ માટે ઉકેલ્યું હવે આપણે આ સમીકરણને ફરીથી લખી શકીએ માટે T(t) = 60 ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત જ્યાં k = આ થશે અને - - + થઇ જશે માટે e ની 1 /2 નેચરલ લોગ ઓફ 2 /3 ઘાત ગુણ્યાં t + 20 હવે આપણે 40 ડિગ્રી સુધી ઠંડુ પાડવા કેટલી મિનિટ લાગશે તે શોધવાનું છે માટે 40 = 60 ગુણ્યાં e ની 1 /2 નેચરલ લોગઓફ 2/3 ગુણ્યાં t ઘાત +20 હવે સમીકરણની બંને બાજુએથી આ 20ને બાદ કરીએ માટે 20 = 60 ગુણ્યાં e ની 1 /2 ગુણ્યાં નેચરલ લોગ ઓફ 2 /3 ગુણ્યાં t ઘાત હવે સમીકરણની બંને બાજુએ 60 વડે ભાગીએ માટે 1/3 = eની 1/2 ગુણ્યાં નેચરલ લોગ ઓફ 2/3 ગુણ્યાં t ઘાત હવે બંને બાજુ નેચરલ લોગ લઈએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ 1 /3 = 1 /2 ગુણ્યાં નેચરલ લોગ ઓફ 2/3 ગુણ્યાં t હવે t માટે ઉકેલવા 1/2 નેચરલ લોફ ઓફ 2/3 વડે બંને બાજુ ભાગીએ માટે t = નેચરલ લોગ ઓફ 1 /3 ભાગ્યા હવે 1 /2 વડે ભાગવું એ 2 વડે ગુણવાને સમાન થશે તેથી છેદમાં નેચરલ લોગ ઓફ 2 /3 આવે હવે જોઈએ કે આપણે તેનો જવાબ મેળવી શકીએ છીએ કે નહિ હવે આપણે તેને ઉકેલવા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ 2 ગુણ્યાં નેચરલ લોગ ઓફ 1 /3 ભાગ્યા નેચરલ લોગ ઓફ 2/3 અને આપણને તેનો જવાબ લગભગ 5.419 મળે જો આપણે તેને નજીકના સાતંશમાં ફેરવીએ તો 5 .42 માટે તેના બરાબર લગભગ 5 .42 મિનિટ યાદ રાખો કે અહીં સમયનો એકમ મિનિટ છે આમ આપણે પૂરું કર્યું આ આપણો જવાબ છે તેને 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ જેટલું ઠંડુ પાડવા 5 .42 મિનિટ લાગે.