If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :10:02

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

એવી પરિસ્થિતિ વિશે વિચારીએ જેને વિકલ સમીરણ વડે દર્શાવી શકાય આ પરિસ્થિતિમાં આપણે એક પદાર્થ લઈએ છીએ જે આસપાસના વાતાવરણના તાપમાન કરતા ઠંડો કે ગરમ છે હવે તે કેટલું ઝડપથી ઠંડો પડે છે અથવા કેટલો ઝડપથી ઠંડુ પડે છે અથવા કેટલો ઝડપથી ગરમ થાય છે તે આપણે દર્શાવવા માંગીએ છીએ આપણે જે વિચારીએ છીએ તેવું ન્યુટને પણ વિચાર્યું માટે આ વિચારને ન્યુટનનો શીતનનો નિયમ કહે છે અને તે દર્શાવે છે કે તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ પરિસરનું તાપમાન અને પદાર્થના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમ પ્રમાણમાં હોય છે આપણે તેને ગાણિતિક પદોમાં લખીએ અને તે દર્શાવે છે કે તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ પદાર્થનું તાપમાન અને પરિસરના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે આપણે તેને ગાણિતિક પદોમાં લખીએ તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર હું અહીં તાપમાન માટે T લઈશ સમયની સાપેક્ષે તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ પદાર્થનું તાપમાન અને પરિસરના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને આ એક સામાન્ય સમજ છે જો કોઈ પદાર્થનું તાપમાન પરિસરના તાપમાન કરતા ખુબ જ વધારે હોય તો તાપમાન માં થતો ફેરફાર આકરો હોવો જોઈએ તાપમાનમાં ખુબ જ ઝડપથી ઘટાડો થાય જો કંઈક ખુબ જ વધારે ઠંડુ હોય તો તેના તાપમાનમાં ખુબ જ ઝડપથી વધારો થાય અને જો આ બને તાપમાન એક બીજાની વધારે નજીક હોય તો તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર વધારે હશે નહિ હવે તમે કદાચ વિચારતા હશો કે જો પદાર્થનું તાપમાન પરિસરના તાપમાન કરતા વધારે હોય તો તે ઠંડુ પડવું જોઈએ મારો તાપમાન ઘટવો જોઈએ અને તાપમાનમાં ઘટાડો આ તત્ક્ષણિક ફેરફાર ઋણ છે એવું દર્શાવે હવે જો પદાર્થનું તાપમાન એ પરિષરના તાપમાન કરતા વધારે હોય તો આ કિંમત ઋણ કઈ રીતે હોઈ શકે અને તેમાં માટે તમારી પાસે ઋણ k હોવો જોઈએ જો તમને ઋણ k ના સંધર્ભમાં વિચારવાનું ગમતું ન હોય તો તમે અહીં માઇનસની નિશાની મુકો હવે તમારી પાસે ધન k કે જો પદાર્થનું તાપમાન પરિસરના તાપમાન કરતા વધારે હોય તો અહીં આ પદ ધન થાય અને ફેરફારનો દર ઋણ થશે તે ઠંડુ પડશે અને જો બીજી રીતે વિચારીએ તો પદાર્થનું તાપમાન એ પરિસરના તાપમાન કરતા ઓછું હોય તો અહીં આ પદ ઋણ થશે અને પછી ઋણ અને ઋણને ગુણતા આપણે અહીં આ k ને ધન ધારીએ છીએ ઋણ અને ઋણને ગુણતા આપણને આખું પદ ધન મળે તેથી ફેરફારનો દર ધન થાય આપણું તાપમાન વધશે અને અહીં આ અચળાંક k એ પદાર્થની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને વિશિષ્ટ ઉશ્મા પર આધાર રાખે પરંતુ હવે આપણે જોઈએ કે આપણે સામાન્ય ઉકેલ માટે આ વિકલ સમીકરણને ઉકેલી શકીએ કે નહિ તમે વિડિઓ અટકાવો અને જાતે જ તે કરવાનો પ્રયત્ન કરો હું તમને અહીં એક હિન્ટ આપીશ અહીં આ વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે હવે આપણે તે સાથે મળીને કરીએ આ T અને dTને સમીકરણની એક બાજુએ લઈએ તમે તેમાં ગુચવાશો નહિ T એ તાપમાન માટે છે અને t એ સમય માટે છે તેમજ સમયના ચલને અને સમયના વિકલને સમીકરણની બીજી બાજુએ લઈએ હવે આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ T - T સબ a જે પરિસરનું તાપમાન છે તેના વડે ભાગીએ પરિસરના તાપમાનને આધારે અહીં આ પદ અચલ રહેશે આપણે ધારી લઈએ કે પરિષરનું તાપમાન સમયના વિધેય તરીકે બદલાતું નથી આપણો રૂમ એટલો બધો મોટો છે કે આ ગરમ ચાનો કપ તે આખા રૂમને ગરમ કરી શકે નહિ આપણે અહીં આ એક ધારણા કરીએ હવે સમીકરણની બંને બાજુએ આના વડે ભાગીએ તેથી આપણને 1 /T - T સબ a ગુણ્યાં dt ગુણ્યાં તાપમાનનો વિકલ મળે તાપમાનનો વિકલ બરાબર હવે સમીકરણની બંને બાજુએ આ સમયના વિકલ વડે ગુણીએ માટે -k ગુણ્યાં સમયનો વિકલ આમ મેં તાપમાન અને સમયના ચલને અલગ કરવા બંને બાજુ આના વડે ભાગ્યું અને આના વડે ગુણયું હવે આપણે બંને બાજુ સંકલન કરી શકીએ જે આપણે અગાઉ જોઈ ગયા છીએ અને અહીં ડાબી બાજુ સંકલિત નેચરલ લોગ ઓફ માનંકમાં આ છેદ થશે તમે અહીં u સબટીટ્યુશન રીતનો ઉપયોગ પણ કરી શકો જો તમે u = T - T સબ a લો તો du = 1 ગુણ્યાં dt થશે અને પછી આ સંકલિતને 1 /u du તરીકે લખી શકાય જેનું પ્રતિ વીકલીત નેચરલ લોગ ઓફ માનંકમાં u થાય અને u = આ છે માટે ડાબી બાજુનું સંકલિત બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ માનંકમાં T - T સબ આ ફરીથી હું અહીં અચળાંકને મૂકી શકું પરંતુ હું અચળાંકને ભેગો કરીને જમણી બાજુએ મુકીશ અને પછી સમીકરણની જમણી બાજુએ -kt +c મળે હવે આ બંને બાજુના પદને e ની ઘાત તરીકે લઈએ અથવા બીજા શબ્દમાં કહીએ તો e ની આ ઘાત બરાબર આ થશે તેથી તેના બરાબર માનંકમાં T - T સબ a = e ની આ આખી ઘાત -k ગુણ્યાં t + c હવે તેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય જે આપણે અગાઉ ઘણીવાર લખ્યું છે e ની -kt ઘાત ગુણ્યાં e ની C ઘાત હવે અહીં આ અચલ થશે જો આપણે આને c1 લઈએ તો આ આખી બાબત c થાય માટે તેના બરાબર c ગુણ્યાં c ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત હવે આપણી પાસે ડાબી બાજુએ ફક્ત તાપમાન છે પદાર્થનું તાપમાન ઓછા પરિસરનું તાપમાન આપણે અહીં અમુક બાબતો કરી શકીએ હવે આપણી પાસે ખુબ જ ગરમ ચા નો કપ છે તેથી આપણે લખી શકીએ કે પદાર્થનું તાપમાન T ગ્રેટર ધેન ઓર ઈક્વલ ટુ પરિસરનું તાપમાન તેથી અહીં આનો અર્થ ગરમ થશે ખુબ જ ગરમ અને જયારે આ પ્રકારની સ્થિતિ હોય ત્યારે અહીં માનંકની કિંમત ધન થાય અથવા માનંકની અંદર જે કઈ પણ છે તેની કિંમત ધન થાય માટે આપણને હવે માનંકની જરૂર નથી તેથી અહીં માનંકની કિંમત આ જ રહેશે હવે સમીકરણની બંને બાજુએ T સબ a ને ઉમેરીએ તેથી પદાર્થનું તાપમાન જેને સમયના વિધેય તરીકે પણ લખી શકાય તેના બરાબર c ગુણ્યાં e ની - ct + t સબ a મેં અહીં ધાર્યું છે કે આ માનંકની કિંમત ધન છે માનંકની કિંમત બદલાતી નથી અને પછી સમીકરણની બંને બાજુએ T સબ a ને ઉમેર્યું હવે અહીં આ આપણો સામાન્ય ઉકેલ થશે જેમાં પદાર્થનું તાપમાન એ પરિષરના તાપમાન કરતા વધારે છે હવે આપણે એવી પરિસ્થિતિ લઈએ જ્યાં પદાર્થએ પરિસરના તાપમાન કરતા ઠંડો હોય એટલે કે T < Ta તો અહીં આ માનંકની કિંમત ઋણ થશે માટે Ta - T = આ c ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત હવે અહીં T મેળવવા સમીકરણની બંને બાજુએ T ને ઉમેરીએ અને આ પદને બાદ કરીએ માટે પદાર્થનું તાપમાન સમયના વિધેય તરીકે તેના બરાબર T સબ a - c ગુણ્યાં e ની -kt ઘાત હવે આપણે આ બાબત ત્યારે મળે જયારે કંઈક પરિસરના તાપમાન કરતા ઠંડુ હોય આમ આ આપણો બીજો સામાન્ય ઉકેલ મળે તેથી ન્યુટનના સીતનના નિયમના આધારે આપણને વિકલ સમીકરણના બે સામાન્ય ઉકેલ મળે અને હવે પછીના વિડિઓમાં કંઈક કેટલું ઝડપથી ઠંડુ થાય છે અથવા કેટલું ઝડપથી ગરમ થાય છે તે દર્શાવવા આપણે તેનો ઉપયોગ કરીશું.