મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન વિતરણ શું છે?

આપણી આસપાસ રહેલા બધા હવાના અણુઓ સમાન ઝડપે ગતિ કરતા નથી, જો બધા એ કે જ તાપમાને હોય તો પણ. કેટલાક હવાના અણુઓ ખુબ જ ઝડપથી ગતિ કરશે, અને કેટલાક હવાના અણુઓ ભાગ્યે જ ગતિ કરશે આના કારણે, આપણે એ પ્રશ્ન પૂછી શકીએ નહિ કે "વાયુમાં હવાના અણુઓની ઝડપ શું છે?" કારણકે વાયુના અણુ પાસે શક્ય ઝડપની કોઈ પણ મોટી સંખ્યા હોઈ શકે.

તેથી કોઈ એક ચોક્કસ વાયુના એનું વિશે પૂછવાને બદલે, આપણે આવો પ્રશ્ન પૂછીએ "ચોક્કસ તાપમાન આગળ વાયુની ઝડપ્નું વિતરણ શું છે?" 1800 ના મધ્યમાં, જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ અને લુડવિંગ બોલ્ટઝમેને આ પ્રશ્નનો જવાબ શોધ્યો તેમના પરિણામને મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન વિતરણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, કારણકે તે બતાવે છે કે આદર્શ વાયુ માટે અણુઓની ઝડપનું વિતરણ કઈ રીતે થયેલું છે. મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન વિતરણને મોટે ભાગે નીચેના આલેખ સાથે બતાવવામાં આવે છે.

મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન આલેખના y-અક્ષને અણુઓની સંખ્યા પ્રતિ એકમ ઝડપ વિચારી શકાય તેથી, જો આપેલા વિસ્તારમાં આલેખ ઊંચો હોય, તો તેનો અર્થ થાય કે ત્યાં તે ઝડપ સાથે ગતિ કરતા વાયુના અણુઓ વધારે છે.

નોંધો કે આલેખ સંમિત નથી. આલેખના જમણા છેડા પર વધુ ઝડપ ઉપર તળિયાનો ભાગ વધુ છે. આલેખ જમણી બાજુ ખુબ જ વધુ ઝડપથી આગળ જવાનું ચાલુ રાખે છે, પરંતુ ડાબી બાજુ આલેખ શૂન્ય આગળ પૂરો થવો જ જોઈએ (કારણકે અણુઓ પાસે શૂન્ય કરતા ઓછી ઝડપ હોઈ શકે નહિ).

મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેનના વિતરણ માટે સાચું ગાણિતિક સમીકરણ થોડું ડરાવનું અને બીજગણિતના ઘણા પરિચયના વર્ગો માટે ખાસ કરીને જરૂરી નથી.

તમે કદાચ વિચારી શકો કે મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેનના શૃંગની તરત નીચેની ઝડપનું સ્થાન વાયુમાં અણુની સરેરાશ ઝડપ છે, પણ તે સાચું નથી. શૃંગની તરત નીચેની ઝડપ $\text{સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ}{v}_p$‍ છે, કારણકે વાયુના અણુ માટે જે ઝડપ શોધવાની શક્યતા વધુ છે તે આ ઝડપ છે.

વાયુમાં અણુઓની $\text{સરેરાશ ઝડપ}{v}_{avg}$‍ નું સ્થાન શૃંગની થોડી જમણી બાજુએ છે. સરેરાશ ઝડપનું સ્થાન શૃંગની થોડી જમણી બાજુએ હોવાનું કારણ મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેનના વિતરણના આલેખમાં લાંબા "તળિયાનો" ભાગ જમણી બાજુએ છે. આ લાંબું તળિયું સરેરાશ ઝડપને શૃંગની થોડી જમણી બાજુએ ખસેડે છે.

બીજી ઉપયોગી રાશિને $\text{સરેરાશ વર્ગીત ઝડપના વર્ગમૂળ}{v}_{rms}$‍ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ રાશિ રસપ્રદ છે કારણકે તેની વ્યાખ્યા તેના નામમાં જ છુપાયેલી છે. સરેરાશ વર્ગીત ઝડપના વર્ગમૂળ એ વેગના વર્ગોના મઘ્યકનું વર્ગમૂળ છે. અહીં મઘ્યક એ સરેરાશ માટેનો બીજો શબ્દ જ છે. આપણે ગાણિતિક રીતે સરેરાશ વર્ગીત ઝડપના વર્ગમૂળને આ રીતે લખી શકીએ,

એવું લાગે છે કે સરેરાશ કિંમત શોધવાની આ રીત બિનજરૂરી રીતે અઘરી છે કારણકે આપણે બધા વેગનો વર્ગ કરીએ છીએ, પછી તેનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ. તમે વિચારતા હશો, ""વેગનું સરેરાશ શા માટે નથી લેતા?" પરંતુ યાદ રાખો કે વેગ એ સદિશ રાશિ છે અને તેની પાસે દિશા હોય છે. વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે, કારણકે ત્યાં જમણી બાજુ (+વેગ) જતા વાયુના અણુઓની સંખ્યા ડાબી બાજુ (-વેગ) જતા અણુઓની સંખ્યાને સમાન છે. તેથી જ આપણે સૌપ્રથમ વેગનો વર્ગ લઈએ છીએ, અને તેમને ધન બનાવીએ છીએ. આ ખાતરી આપે છે કે મઘ્યક (સરેરાશ કિંમત) લેતા તે આપણને શૂન્ય આપતું નથી. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ જે રાશિઓ ધન અને ઋણ કિમારો ધરાવે છે તેમનું સરેરાશ શોધવા ઘણી વાર આ રીતનો ઉપયોગ કરે છે. (જેમ કે ઉલટસુલટ પ્રવાહના પરિપથમાં વોલ્ટેજ અને વિદ્યુત પ્રવાહ)

તે નોંધાવું જોઈએ કે ઓરડાના તાપમાન આગળના વાયુ માટે પણ, આ તમામ ત્રણ રાશિઓ ($v_p$‍, $v_{avg}$‍, અને $v_{rms}$‍) ખૂબ મોટી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઓરડાના તાપમાને ($293\text{ K}$‍) નિયોન વાયુ પાસે સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ, સરેરાશ ઝડપ, અને સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ છે,

$v_p=491{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}$‍ (or $1100{\displaystyle \frac{\text{mi}}{\text{hr}}})$‍

$v_{avg}=554{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}$‍ (or $1240{\displaystyle \frac{\text{mi}}{\text{hr}}})$‍

$v_{rms}=602{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}$‍ (or $1350{\displaystyle \frac{\text{mi}}{\text{hr}}})$‍

મેક્સવેલ-બોલ્ટઝમેન વિતરણ આલેખનો y-અક્ષ અણુઓની સંખ્યા પ્રતિ એકમ ઝડપ આપે. આખા વક્ર નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ બરાબર વાયુમાં રહેલા અણુઓની કુલ સંખ્યા.

જો આપણે વાયુને ઊંચા તાપમાન સુધી ગરમ કરીએ, તો આલેખનું શૃંગ જમણી બાજુ ખસશે (કારણકે સરેરાશ આણ્વીય ઝડપ વધશે). જેમ આલેખ જમણી બાજુ ખસે, તેમ વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ સમાન જાળવવા માટે આલેખની ઊંચાઈ ઘટાડવી પડે. તે જ રીતે, જો આપણે વાયુને નીચા તાપમાન સુધી ઠંડો કરીએ, તો આલેખનું શૃંગ ડાબી બાજુ ખસશે. જેમ આલેખ ડાબી બાજુ ખસે, તેમ વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ સમાન જાળવવા માટે આલેખની ઊંચાઈ વધારવી પડે. આ આપણે નીચેના વક્રમાં જોઈ શકીએ જે જુદા જુદા તાપમાને (અચળ અણુઓના જથ્થા સાથે) વાયુનો નિદર્શ દર્શાવે છે.

જેમ વાયુ ઠંડો થાય તેમ વક્ર ઊંચો અને વધુ સાંકળો બને. સમાન રીતે, વાયુ જેમ ગરમ બનતો જાય તેમ આલેખ તુકો અને પહોળો બને. વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ (જેમ કે અણુઓની કુલ સંખ્યા) અચળ રાખવા માટે આ જરૂરી છે.

જો અણુઓ નિદર્શમાં દાખલ થાય, તો વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ વધશે. સમાન રીતે, જો અણુઓ નિદર્શમાંથી બહાર જાય, તો વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ ઘટશે.

દ્વિપરમાણ્વિક નાઈટ્રોજન વાયુને પાત્રમાં બંધ કરવામાં આવ્યો છે. ત્યારબાદ બંધ પાત્રને આઈસ બાથમાં મુકવામાં આવે છે અને તે આઈસ બાથ સાથે ઓછા સંતુલિત તાપમાન પર પહોંચે છે.

વાયુ પાસે ઝડપનું વિતરણ છે જે નીચે મુજબ દેખાય છે.