ઊર્જાનું સંરક્ષણ - દાખલો

કેટલાક પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીએ પ્રથમ ઉદા કંઈક આ પ્રમાણે છે ક્રિકેટ બોલને જમીનથી શિરોલંબ દિશામાં 20 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે જયારે બોલ 15 મીટરની ઊંચાઈ પર પહોંચી જાય ત્યારે તેની ઝડપ શોધો g = 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડનો વર્ગ આપેલો છે અહીં આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે બોલને શિરોલંબ દિશામાં 20 મીટર પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે જયારે બોલ 15 મીટરની ઊંચાઈ પર પહોંચી જાય ત્યારે આપણે તેની ઝડપ શોધવાની છે હવે જેમ જેમ બોલ ઉપરની તરફ જાય તેમ તેમ આપણે તેની ઝડપ શોધવાની છે ધારો કે બોલ અહીં ક્યાંક છે અને અહીં આ ઊંચાઈ અહીં આ ઊંચાઈ 15 મીટર છે તો અહીં આ બિંદુ આગળ તેની ઝડપ શું હશે તે આપણે શોધવાનું છે હવે આપણે આ પ્રશ્નને કઈ રીતે ઉકેલી શકીએ આપણે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે અગાઉના વિડિઓમાં આ પ્રકારના પ્રશ્નોને ઉકેલી ગયા છીએ પરંતુ આ વિડિઓમાં આપણે આ પ્રશ્નને ઉકેલવા ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયત્ન કરીશું તો ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ શું કહે છે આ નિયમ પ્રમાણે જયારે બોલ અહીંથી અહીં જશે ત્યારે તેની કુલ ઉર્જા એટલે કે ગતિ ઉર્જા + સ્થિતિ ઉર્જા બદલાતી નથી જયારે બોલ અહીં હશે ત્યારે તેની પાસે કેટલીક ગતિ ઉર્જા હશે હવે જેમ જેમ બોલ ઉપરની તરફ જાય તેમ તેમ તેની ગતિ ઉર્જા ઘટતી જાય કારણ કે આ બોલ ધીમો પડી રહ્યો છે પરંતુ તેની ગતિ ઉર્જાનું રૂપાંતરણ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતું જાય છે જેમ જેમ બોલ ઊંચાઈ પર જતો જાય તેમ તેમ તેની પાસે વધારે સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે માટે આપણે કહી શકીએ કે બોલ જેમ જેમ ઉપરની તરફ જાય તેમ તેમ ગતિ ઉર્જા ઘટતી જાય છે પરંતુ તેની સાથે સાથે સ્થિતિ ઉર્જા વધે છે આમ પરિણામે બોલની કુલ ઉર્જા બદલાતી નથી ઉર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત આ પ્રમાણેનો છે તેથી હવે આપણે કહી શકીએ કે અહીંની કુલ ઉર્જા બરાબર અહીંની કુલ ઉર્જા જો તેને ગાણિતિક રીતે લખવું હોય તો આપણે આ પ્રમાણે લખી શકીએ આ બિંદુ આગળની કુલ ઉર્જા એટલે કે સ્થિતિ ઉર્જા + ગતિ ઉર્જા અહીં આપણે આ બિંદુને 1 કહીશું માટે સબસ્ક્રીપટમાં 1 લખ્યું છે અને સ્થિતિ ઉર્જાને U વડે દર્શાવી શકાય આ બિંદુ આગળની કુલ ઉર્જા એ આ બિંદુ આગળની કુલ ઉર્જાને સમાન હોવી જોઈએ આપણે આ બિંદુને 2 કહીશું હવે આપણે આનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રશ્નને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીએ આને બિંદુ 1 કહીએ અને આને બિંદુ 2 કહીએ તો આપણે બિંદુ 2 આગળ આ બોલનો વેગ શોધવાનો છે હવે તમે અહીં કયો ક્રમ આપો છો એટલે કે તમે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન કોને કહો છો તે મહત્વનું નથી તમે અહીં આને બિંદુ 1 કહી શકો અને આને બિંદુ 2 જો આ બોલ નીચેની તરફ પડી રહ્યો હોય તો પણ આપણે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ અહીં દિશા મહત્વની નથી માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન કયું છે તેના વિશે આપણે વિચારવાની જરૂર નથી તો હવે આપણે તેમાં કિંમત મૂકી શકીએ સ્થિતિ ઉર્જા U1 એ mgh1 થશે mgh1 h1 એ અહીં આ બિંદુ આગળ જમીનથી બોલની ઊંચાઈ છે + ગતિ ઉર્જા જે 1 /2 mv1 નો વર્ગ થાય અહીં આ બિંદુ આગળ બોલનો વેગ v1 છે હવે તેના બરાબર સ્થિતિ ઉર્જા u2 જે mgh2 છે + ગતિ ઉર્જા 1 /2 mv2 નો વર્ગ થવો જોઈએ v2 એ અહીં આ બોલનો વેગ છે હવે આપણે તેમાં કિંમતો મૂકીએ તે પહેલા શું તમે અહીં જોઈ શકો કે આ દરેક પદમાં m આવેલો છે માટે આપણે m ને બંને બાજુએથી સામાન્ય લઈશું પરિણામે આપણને આ પ્રકારનું સમીકરણ મળે હવે અહીં m બંને બાજુએથી કેન્સલ થઇ જશે હવે જોઈએ કે આપણે આ બધાની કિંમત જાણીએ છીએ કે નહિ આપણને અહીં g ની કિંમત આપેલી છે h1 એ જમીનથી આ બિંદુ આગળ બોલની ઊંચાઈ થશે કારણ કે આપણે જમીનથી બોલને ફેંકી રહ્યા છીએ અને તેથી h1 0 થાય v1 ની કિંમત પણ આપણને આપેલી છે તે આ સંખ્યા થશે h2 આપણને અહીં h2 પણ આપેલું છે h2 એ જમીનથી આ બોલ સુધીની ઊંચાઈ છે જે 15 મીટર છે અને v2 શોધવાનું છે આમ આપણે આ સમીકરણમાં આ દરેકની કિંમત મૂકી શકીએ અને v2 માટે ઉકેલી શકીએ કારણ કે ફક્ત v2 જ અજ્ઞાત છે વિડિઓ અટકાવો અને તમે તે જાતે જ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો અહીં h1 = 0 છે માટે આ આખું પદ 0 થઇ જશે + v1 એ આ બિંદુ આગળનો બોલનો વેગ છે માટે 1 /2 ગુણ્યાં 20 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ આખાનો વર્ગ = g અહીં આપણને તેની કિંમત આપેલી છે 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડનો વર્ગ ગુણ્યાં h2 h2 એ 15 મીટર છે માટે અહીં 15 મીટર + 1 /2 v2 નો વર્ગ v2 અજ્ઞાત છે આપણે તેને શોધવાનું છે 20 નો વર્ગ 400 થાય અને પછી 400 ભાગ્ય 2 200 થશે માટે સમીકરણની ડાબી બાજુ આપણને 200 મીટરનો વર્ગ ભાગ્યા સેકન્ડનો વર્ગ મળે = 10 ગુણ્યાં 15 150 થશે અને અહીં પણ એકમ મીટરનો વર્ગ પ્રતિ સેકન્ડનો વર્ગ થાય + 1 /2 v2 નો વર્ગ સમીકરણની બંને બાજુએ થી 150 બાદ કરીએ પરિણામે આપણને 50 m નો વર્ગ પ્રતિ s નો વર્ગ = 1 /૨ v2 નો વર્ગ મળે હવે આપણે v2 ને ઉકેલવા માંગીએ છીએ તેથી સમીકરણની બંને બાજુ 2 વડે ગુણાકાર કરીએ માટે 100 m નો વર્ગ ભાગ્યા s નો વર્ગ બરાબર v2 નો વર્ગ હવે v2 શોધવા માટે આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગમૂળ લઈશું 100 નું વર્ગમૂળ 10 થાય પરિણામે v2 = 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ આમ અહીં આ આપણો જવાબ છે 15 મીટરની ઊંચાઈ આગળ અહીં આ બોલનો વેગ 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ થશે આપણે અનુમાન લગાવ્યુંતે પ્રમાણે તમે જોઈ શકો કે બોલની ગતિ ધીમી પડી રહી છે હવે આપણે એક બીજું ઉદા જોઈશું આ પ્રશ્નમાં આપણને સીધી જ આકૃતિ આપવામાં આવ છે અહીં તમે જોઈ શકો જે જમીનથી 40 મીટર ઊંચાઈ આગળ એક બોલને સમક્ષિતિજ દિશામાં 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે માટે બોલનો પાથ કંઈક આ પ્રમાણે જોવા મળશે હવે આપણો પ્રશ્ન એ છે કે આ બોલ જમીન સાથે કઈ ઝડપે અથડાય આપણે તેનો વેગ કઈ રીતે શોધી શકીએ પહેલી નજરે જોતા આ પ્રશ્ન અઘરો લાગે છે કારણ કે અહીં તેનો પથ વક્ર છે દરેક બિંદુ આગળ તેની દિશા બદલાઈ રહી છે પરંતુ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ માટે દિશા મહત્વની નથી અહીં તેનો પથ વક્ર છે તેમ છતાં આ સિદ્ધાંતનું પાલન થશે માટે આપણે અહીં કહી શકીએ અહીં કુલ ઉર્જા અહીંની કુલ ઉર્જા બરાબર અહીંની કુલ ઉર્જા અને તે પરથી આપણે પ્રશ્નને ઉકેલી શકીએ હંમેશાની જેમ તમે વિડિઓ અટકાવો અને તેને જાતે જ ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરો આપણે અહીં આને બિંદુ એક કહીશું અને આને બિંદુ બે સૌ પ્રથમ આપણે સૂત્ર જોઈએ સમય બચાવવા આપણે અગાઉ જે બે સ્ટેપ જોઈ ગયા તે જ પ્રમાણે સ્ટેપ અહીં પણ આવશે હવે અહીં g અને h ની કિંમત શું આવે તે જોઈએ h1 એ અહીં આ બિંદુ આગળ જમીનથી બોલની ઊંચાઈ થશે જે 40 મીટર છે v1 એ આ બિંદુ આગળ બોલનો વેગ થાય h2 એ અહીં આ બિંદુ આગળ જમીનથી બોલની ઊંચાઈ થાય જે 0 થશે માટે આ પદ 0 થાય અને v2 એ આ બિંદુ આગળ બોલનો વેગને તે આપણે શોધવાનો છે હવે આપણે આ બધાની કિંમત મુકીશું g = 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડનો વર્ગ છે ગુણ્યાં h1 જે 40 મીટર થશે + 1 /2 v1 જે 10 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ આખાનો વર્ગ થાય તેના બરાબર અહીં આ h2 0 છે માટે આ પદ 0 થાય તેથી આપણી પાસે જમણી બાજુ ફક્ત 1 /2 v2 નો વર્ગ બાકી રહે હવે તમે આ સમીકરણ જાતે ઉકેલી શકો એવી મને આશા છે અને જો તમે તેને ઉકેલો તમને v2 = 30 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ મળશે આમ જયારે બોલ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે તેનો વેગ 30 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ હશે આમ જયારે પણ તમને પ્રશ્નમાં ઊંચાઈ અને ઝડપ અથવા સ્થાન અને ઝડપ આપેલા હોય ત્યારે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે આ સમીકરણનો ફક્ત એક જ ગેરફાયદો છે કે તમે સમયને ઉકેલી શકતા નથી જો હું તમને એમ પૂછું કે આ બોલને અહીંથી અહીં સુધી જવા કેટલો સમય લાગે તો તમે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકશો નહિ કારણ કે તેમાં સમય આવતો નથી માટે જયારે તમને સમયની જરૂર ન હોય ત્યારે જ તમે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો