પાયથાગોરસના પ્રમેયનો પરિચય 2

હવે આપણે ભૂમિતિના સૌથી સરળ અને મહત્વના પ્રમેય વિશે ચર્ચા કરીએ અને તે છે પાયથાગોરસનો પ્રમેય પાયથાગોરસનો પ્રમેય તે ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણ માટે જ લાગુ પડે છે સૌપ્રથમ કાટકોણ ત્રિકોણ એટલે શું કાટકોણ ત્રિકોણ એટલે 90 અંશનો ખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેમાં અહીં આ ખૂણો 90 અંશનો ખૂણો છે જો તમે 90 અંશનો ખૂણો ક્યારેય n જોયો હોય તો વિચારો કે આ બાજુ ડાબેથી જમણી તરફ જાય છે અને આ બાજુ ઉપરથી નીચેની તરફ આવે છે આ બંને બાજુઓ એક બીજાને લંબ છે અને તેમની વચ્ચે બનતો ખૂણો કાટખૂણો છે એટલે કે 90 અંશનો ખૂણો છે પાયથાગોરસનો પ્રમેય અનુસાર જો આપણી પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય તો પહેલા હું અહીં લખું છું કે આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો 90 અંશનો હોય છે કાટકોણ ત્રિકોણ એટલે 90 અંશનો ખૂણો અથવા કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ જો આપણી પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય તો તેમની બાજુઓ વચ્ચે કંઈક સંબંધ હોય છે ધારો કે આ બાજુનું માપ a છે આ બાજુનું માપ b અને આ બાજુનું માપ c છે ધ્યાન રાખો કે અહીં c એ 90 અંશના ખૂણાની સમની બાજુ છે કારણ કે કઈ બાજુ કઈ છે તે ધ્યાનમાં રાખવું જરૂરી છે પાયથાગોરસનો પ્રમેય અનુસાર જો આપણી પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોય તો અને માત્ર તો જ a નો વર્ગ + b નો વર્ગ = c નો વર્ગ થશે આપણે આ જ માહિતીનો ઉપયોગ કરીશું જો આપણે આમાંથી બે બાજુઓના માપ જાણતા હોઈએ તો આપણે ત્રીજી બાજુનું માપ શોધી શકીએ છીએ હવે હું તમને વધુ એક પારિભાષિક શબ્દ વિશે સમજવું છું આ લાંબી બાજુ કે જે કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ છે જેમ કે આ ઉદામાં આ c બાજુ તેને કર્ણ કરે છે આ ખુંબ જ સરળ છે કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ કેજે 90 અંશના ખૂણાની સામેની બાજુ છે તેને કર્ણ કહે છે હવે આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વિશે જાણીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીએ મારીપાસે એક કાટકોણત્રિકોણ છે જે કંઈક આવો દેખાય છે અહીં આ ખૂણો કાટખૂણો છે આ બાજુની લંબાઈ 9 છે આ બાજુની લંબાઈ 7 છે અને મારો સવાલ એ છે કે આ બાજુની લંબાઈ શું હશે આપણે તેને c વડે દર્શાવીએ આમ ફરીથી આ સ્થિતિમાં c એ કર્ણ છે તે સૌથી લાંબી બાજુ છે અને તે કાટખૂણાની સામેની બાજુ છે આપણે જાણીએ છીએ બે બાજુના વર્ગનો સરવાળો બરાબર કર્ણનો વર્ગ એટલે કે c નો વર્ગ થાય પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર 9 નો વર્ગ + 7 નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ 9 નો વર્ગ થશે 81 + 7 નો વર્ગ થશે 49 = c નો વર્ગ 81 + 49 શું થશે 80 + 40 = 120 + 1 + 9 બીજા 10 તેથી આ થશે 130 = c નો વર્ગ તો હવે c બરાબર શું મળશે આપણી પાસે છે c નો વર્ગ બરાબર 130 અથવા c = વર્ગમૂળ 130 આપણે ધ્યાનથી જુઓ કે અહીં આપણે ફક્ત ધન વર્ગમૂળ જ લીધું છે કારણ કે c ધન મળવો જોઈએ આપણે અહીં અંતર વિશે વાત કરતા હોવાથી તે ક્યારેય ઋણ લઇ શકાય નહિ માટે આપણે અહીં ધન વર્ગમૂળ લઈએ છે આનું સાદુંરૂપ આપીએ 130 = 2 ગુણ્યાં 65 65 = 5 ગુણ્યાં 13 હું જુઓ કે આ બધી જ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે આમ c = વર્ગમૂળ 130 વધુ એક ઉદા જોઈએ અને તે માટે ફરીથી અહીં હું એક કાટકોણ ત્રિકોણ દોરું છું આ મારો કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને આ ખૂણો કાટખૂણો છે આ બાજુની લંબાઈ ધારો કે aછે આ બાજુની લંબાઈ 21 છે અને આ બાજુની લંબાઈ 35 છે આપણે a નો ઉકેલ શોધવાનો છે તમે કહેશો a નો વર્ગ = 21નો વર્ગ +35નો વર્ગ જે ખોટું છે ધ્યાનથી જુઓ કે આ પરિસ્થિતિમાં 35 કે કર્ણ છે તે કાટખૂણાની સામેની બાજુ છે 35એ આપણી c બાજુ છેજે સૌથીલાંબી બાજુ છે આપણે કર્ણને હવે ઓળખી લીધું છે તેથી આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશુ પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર a નો વર્ગ + બીજી નાની બાજુનો વર્ગ એટલે કે કર્ણ સિવાયની બાજુનો વર્ગ એટલે કે 21 નો વર્ગ = 35 નો વર્ગ એટલે કે કર્ણનો વર્ગ તમારે હંમેશા યાદ રાખવાનું કે અહીં c એ કર્ણનો વર્ગ છે તે હંમેશા સામે સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ હશે અને તે કાટખૂણાની સામેની બાજુ હશે કાટખૂણાની સામેની બાજુ હશે a નો વર્ગ + 21 નો વર્ગ = 35 નો વર્ગ સૌ પ્રથમ આપણે 21 ગુણ્યાં 21 કરીએ 21 નો વર્ગ શોધીએ 21 ગુણ્યાં 21 1 ગુણ્યાં 21 = 21 0 મૂકીએ 2 ગુણ્યાં 21 જે થશે 42 144 આમ 21 નો વર્ગ થયો 441 હવે આપણે 35 નો વર્ગ કરીએ 35 ગુણ્યાં 35 ફરીથી અહીં આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ નહિ કરીએ અને જાતે જ ગણતરી કરીશું 5 પંચા 25 નો 5 વદ્દી 2 5 તાલિ 15 + 2 17 175 0 મૂકીએ 3 પંચા 15નો 5 વદ્દી એક 3 તાલિ 9 ને 1 10 સરવાળો કરીએ 5 7 + 5 12 નો 2 વદ્દી 1 1 + 1 2 અને આ 1 જે થશે 1225 અથવા 1225 આમ 35 નો વર્ગ થશે 1225 આપણને મળશે a નો વર્ગ +441 = 1225 બંને બાજુએથી 441 ને આપણે બાદ કરીએ ડાબી તરફ આપણને મળશે a નો વર્ગ બરાબર જમણી તરફ 1225 - 441 મળશે તે શું થશે 5 - 1 4 અહીં 2 4 કરતા મોટો ન હોવાથી આપણે દસકો લઈએ આ થઇ જશે 12 ફરીથી અહીં આ થઇ જશે 1 1 એ 4 કરતા મોટો ન હોવાથી અહીં આપણે ફરીથી દસકો લઈશું આ થઇ જશે 11 અને આ થઇ જશે 0 12 -4 થશે 8 11 -4 થશે 7 આમ aનો વર્ગ = 784 a= વર્ગમૂળ 784 ફરીથી આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ નહિ કરીએ અને આનું સદ્ગુરુપ આપીશું 784 = 2 ગુણ્યાં 392 392 = 2 ગુણ્યાં 196 196 = 2 ગુણ્યાં 98 98 = 2 ગુણ્યાં 49 અને આપણે આનું વર્ગમૂળ જાણીએ છીએ આમ 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 2 જે થશે 2 ની 4 ઘાત અને તેના બરાબર 16 a = વર્ગમૂળમાં 16 ગુણ્યાં 49 આપણે અહીં આ જે સંખ્યાઓ લીધી છે કારણ કે તે બંને પુર્નવર્ગ સંખ્યા હોવાથી તેનું વર્ગમૂળ સરળતાથી નીકળી શકે a = 16 નું વર્ગમૂળ 4 ગુણ્યાં 49 નું વર્ગમૂળ 7 જે થશે 28 આમ a = 28 મળે છે અને તે પાયથાગોરસનો પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મળ્યું આપણે વધુ એક ઉદા જોઈએ તે માટે ફરીથી અહીં હું એક કાટકોણ ત્રિકોણ દોરું છું તે જરા મોટો દોરું છું અહીં આ કાટખૂણો છે આ બાજુનું માપ 24 છે આ બાજુનું માપ 12 છે અને આપણે આને b કહીશું દર વખતની જેમ આપણે કર્ણને ઓળખીશું કર્ણ એટલે કાટખૂણાની સામેની સૌથી મોટી બાજુ એટલે કે આ બાજુ 24 તે કર્ણ છે હવે તમને થશે કે કઈ રીતે આ 24 સૌથી લાંબી બાજુ છે કર્ણ કે અહીં મને ખબર નથી કે b ની કિંમત શું હશે કઈ રીતે ખબર પડી કે આ બાજુ સૌથી લાંબી બાજુ છે આ પરિસ્થિતિમાં 90 અંશના ખૂણાની સામેની બાજુ હંમેશા કર્ણ હોય છે તેથી આ બાજુ કર્ણ છે અને તે સૌથી લાંબી બાજુ છે આમ આ કર્ણ છે આનો વર્ગ + આનો વર્ગ = 24 નો વર્ગ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય અનુસાર b નો વર્ગ + 12 નો વર્ગ = 24 નો વર્ગ બંને બાજુએથી 12 ના વર્ગને બાદ કરીશું તેથી આપણને મળશે bનો વર્ગ = 24નો વર્ગ ઓછા 12 નો વર્ગ જે 144 થાય તે આપણે જાણીએ છીએ b = વર્ગમૂળમાં 24 નો વર્ગ - 12 નો વર્ગ હું અહીં કેલ્કુયલેટરનો ઉપયોગ કરું છું 24 નો વર્ગ ઓછા 12 નો વર્ગ = 432 અને તેનું વર્ગમૂળ જે છે 20 .78 પરંતુ આપણે તેને જરા જુદી રીતે કરીએ ફરીહી કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીશુ 24 નો વર્ગ ઓછા 12 નો વર્ગ = 432 આમ b = વર્ગમૂળમાં 432 આના અવયવ પાડીએ તો 432 = 2 ગુણ્યાં 216 216 એ પુર્નવર્ગ સંખ્યા નથી તેથી ફરીથી આપણે તેના આગળથી ભાગ પાડીશું તો 216 = 2 ગુણ્યાં 108 108 = 4 ગુણ્યાં 27 જે થશે 9 ગુણ્યાં 3 અહીં આપણને મળશે 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 4 આ છે 16 16 ગુણ્યાં 9 ગુણ્યાં 3 d = વર્ગમૂળમાં 16 ગુણ્યાં 9 ગુણ્યાં 3 16 નું વર્ગમૂળ થશે 4 ગુણ્યાં 9 નું વર્ગમૂળ થશે 3 ગુણ્યાં વર્ગમૂળ 3 4 તાલિ 12 ગુણ્યાં વર્ગમૂળ 3 આમ b બરાબર આપણને મળ્યું 12 ગુણ્યાં વર્ગમૂળ 3 જે થઇ ગયું.