વર્ગમૂળનો પરિચય

તમે ક્યાંક કોઈ ચિત્રમાં કે ટીવીમાં કે મુવીમાં ગણિતના ચિન્હો જોય હોય તો તમે આ ચિન્હને જરૂર થી જોયું હશે આ નિશાની એ કોઈ સંખ્યાનું મૂળ દર્શાવે છે તે કોઈ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કે બીજો કોઈ મૂળ દર્શાવવા માટે વપરાય છે પણ આપણો પ્રશ્ન એ છે કે આ ખરેખર શું છે તેનો અર્થ શું છે હવે આપણે જયારે ઘાતાંકનો પરિચય મેળવી લીધો છે તો આ મૂળ અથવા વર્ગમૂળની નીશાનીને સમજવાનું અઘરું નથી તો ચાલો એક ઉદાહરણ લઈએ ધારો કે આપણી પાસે છે 3ની 2 ઘાત અથાવા 3નો વર્ગ તો તેનો અર્થ છે કે 3 ગુણ્યા 3 એટલે કે 9 પણ ચાલો આપણે થોડું બીજી રીતે વિચારીએ આપણે 9 થી શરુ કરીએ અને એમ કહીએ કે કઈ સંખ્યાનો 2 વખત ગુણાકાર 9 મળે છે અને આપણે તે જવાબ જાણીએ છીએ કે તે 3 છે પણ તે માટે આપણે એવી કઈ નિશાની કે સંકેત કે ચિન્હનો ઉપયોગ કરીએ કે જેથી આપણે તે બાબતને દર્શાવી શકીએ તો તે બાબત ને દર્શાવવા માટે આ સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે વર્ગમૂળ આમ અહી કહી શકાય કે કઈ સંખ્યાનો તે સંખ્યા સાથે ગુણાકાર 9 મળે અને આપણે જાણીએ છીએ કે તેનો જવાબ છે 3 કારણ કે આ બંને બાબતથી વર્ગમૂળને સારી રીતે સમજી શકશે માટે જો આપણે કહીએ કે વર્ગમૂળ 9 અથવા વર્ગમૂળમાં 9 તો તેનો અર્થ છે કે કઈ સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરવાથી 9 મળે અને તેનો જવાબ છે 3 અને 3નો વર્ગ = 9 વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ કે 4નો વર્ગ = 16 તો 16નો વર્ગમૂળ = 4 થોડું અલગ રીતે જોઈએ હવે વર્ગમૂળથી શરુ કરીએ કે 25નું વર્ગમૂળ શું થાય તો તે એવી સંખ્યા કે જેનો તે સંખ્યા સાથે જ ગુણાકાર કરવાથી 25 મળે અથવા એમ કહીએ કે કઈ સંખ્યાનો વર્ગ 25 મળે તો આપણો જવાબ છે 5 હવે એવું શા માટે કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે 5 નો વર્ગ એ 25 મળે હવે આપણે ઋણ સંખ્યા માટે વિચારીએ આપણે જાણીએ છીએ કે જો ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ કરીએ એટલે કે અહી -3નો વર્ગ કરું છુ તો આપણને તેની કિંમત પણ ધન 9 જ મળે છે તે રીતે જો હું -4 લઉં અને તેનો વર્ગ કરું એટલે કે -4 નો -4 સાથે ગુણાકાર કરું તો મળે ધન 16 જ મળે અને -5નો વર્ગ પણ મને 25 જ મળે તો તેવું અહી ન કરી શકાય શું 9નું વર્ગમૂળ એ + 3 અથવા -3 ન લઇ શકીએ તે એક વ્યાજવી વાત છે પણ જયારે આ પ્રકારની નિશાની જોઈએ ત્યારે તે ફક્ત ધન વર્ગમૂળ દર્શાવે છે અથવા કહી શકાય કે સામાન્ય રીતે આ સંકેતને ધન વર્ગમૂળ ગણવામાં આવે છે હવે જો કોઈને ઋણ માં વર્ગમૂળ જોઈએ તો તેની માટે આ રીતે કરી શકાય તેની માટે લખી શકાય કે - વર્ગમૂળમાં 9 = -3 હવે અહી એક રસપ્રત બાબત જુઓ કે જો હું આ પદમાં બંને બાજુએ વર્ગ લઉં હું આ બંનેનું વર્ગ કરું છુ તો આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ પણ ઋણ સંખ્યાનું વર્ગ કરો તો તે ધન થઇ જશે અને વર્ગમૂળ વાળી સંખ્યાનો વર્ગ કરતા વર્ગમૂળ નીકળી જશે માટે અહી ફક્ત 9 મળે અને આ બાજુ ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ એટલે ધન થઇ જશે અને 3નો વર્ગ થશે 9 આમ તે યોગ્ય છે 9 = 9 હવે હું તેને થોડું બીજ ગણિતની રીતે સમજાવું ધારો કે વર્ગમૂળ 9 = x છે આમ આ પરિસ્થિતિમાં xની ફક્ત એક જ શક્ય કિંમત મળશે કારણ કે મોટા ભાગના ગણિત શાસ્ત્રીઓએ એ વાતને સ્વીકાર્યું છે કે આ સંકેત એ ધન વર્ગમૂળ દર્શાવે છે આમ અહી xની ફક્ત એક જ કિંમત મળશે માટે x = 3 પણ જો હું એમ લખું કે xનો વર્ગ = 9 તો આ થોડી જુદી બાબત છે આમ તેની એક કિંમત થશે x = 3 3નો વર્ગ કરીએ તો આપણને 9 મળે પણ અહી એક બીજી કિંમત પણ મળી શકે જે છે x = -3 -3 ગુણ્યા -3 કરતા આપણને 9 જ મળે એટલે કહી શકાય કે આ બંને બાબતો લગભગ સમાન છે પણ જયારે આ પ્રકારે લખાયેલું હોય ત્યારે બે શક્ય કિંમતો મળી શકે પણ આ સ્વરૂપે હોય ત્યારે તે ફક્ત ધન વર્ગમૂળ દર્શાવે છે એનો અર્થ છે કે તે ફક્ત ધન કિંમત જ આપશે પણ જો આ સંકેત સાથે xની બે કિંમતો જોઈએ તેને આ રીતે લખી શકાય કે + ઓર - વર્ગમૂળમાં 9 = x આમ આ પરિસ્થિતિમાં xની બે કિંમતો મળે ધન 3 અથવા -3