બહુપદીનો પરિચય

આપણે આ વિડીઓમાં બહુપદી એટલે કે પોલીનોમીઅલ્સ વિશે વાત કરીશું પ્રથમ નજરે જોતા તે એક જટિલ શબ્દ જેવો લાગે છે પરંતુ જો તમે આ શબ્દનું વિભાજન કરો તો તમને તે અર્થ પૂર્ણ લાગશે ખાસ કરીને ત્યારે જયારે તમે બહુપદીના ઉદાહરણ જોશો જો આપણે આ શબ્દના પ્રથમ ભાગની વાત કરીએ તો તે બહુ છે અને આ બહુનો અર્થ ઘણા થાય કંઈકનું ઘણું એવું અર્થ થશે અને આ ઉદાહરણમાં ઘણા પદી અને આ પદી એટલે પદ આ બહુપદી એટલે ઘણા બધા પદ હવે આ પદનો અર્થ આપણે તેના વિશે પણ વાત કરીશું પરંતુ તેના પહેલા બહુપદી કોને કહેવાય અને બહુપદી કોને ન કહેવાય તેના માટેના હું તમને કેટલાક ઉદાહરણ આપીશ બહુપદીના ઉદાહરણની વાત કરીએ તો તે કંઈક આ પ્રમાણે હોઈ શકે 10x ની 7 ઘાત - 9x નો વર્ગ + 15x ની 3 ઘાત +9 આ બહુપદી છે બહુપદીના બીજા ઉદાહરની વાત કરીએ તો તે 9a નો વર્ગ -5 હોઈ શકે જો હું ફક્ત એક જ સંખ્યા લખું ધારો કે 6 તો આપણે તેને પણ બહુપદી તરીકે લઇ શકીએ ત્યાર બાદ 7y નો વર્ગ - 3y + પાઇ એ પણ બહુપદી થશે આમ આ બધા બહુપદીના ઉદાહરણ છે તો બહુપદી ન હોય એવા ઉદાહરણ કયા થાય જો હું અહીં ઘાતમાં 7 ની જગ્યાએ -7 લખું તે તે કંઈક આ પ્રમાણે થશે 10x ની -7 ઘાત - 9x નો વર્ગ + 15x ની 3 ઘાત + 9 અને આ બહુપદી નથી આમ શું બહુપદી બનાવે છે એ માટેનો નિયમ તમે કદાચ અહીં ઓળખી શકો દરેક પદમાં ચલનો ઘાત અનઋણ સંખ્યા હોવી જોઈએ મેં અહીં પદ શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો તો હું તમને સૌ પ્રથમ તેનો અર્થ સજાવીશ જેથી તમને બહુપદી સમજવામાં સરળતા રહે બહુપદી કંઈક એવું છે જે પદોના સરવાળાથી બને છે ઉદાહરણ તરીકે જો આપણે આ પ્રથમ બહુપદીની વાત કરીએ તો અહીં પહેલું પદ 10x ની 7 ઘાત છે બીજું પદ -9x નું વર્ગ છે ત્યાર પછીનું પદ 15x નો ઘન છે ચોથું પદ અથવા અંતિમ પદ 9 છે આપણે અહીં આ બધાને પદ કહી શકીએ અને આ 4 પદ ધરાવતી બહુપદી છે હવે તમે કહેશો કે મેં અહીં જે ગુલાબી રંગમાં લખ્યું છે તેની પાસે પણ 4 પદ છે પરંતુ તેને બહુપદી થવા માટે કેટલા નિયમોની જરૂર છે ખાસ કરીને એક ચલમાં બહુપદી થવા માટે અહીં દરેક પદ સહગુણકોનો બનેલો હોય છે સહગુણક એક એવી સંખ્યા છે જેનો ગુણાકાર આપણે ચલની કોઈક ઘાત સાથે કરીએ છીએ જો આપણે આ પ્રથમ પદની વાત કરીએ તો તેમાં સહગુણક 10 છે હું અહીં તેને લખીશ સહગુણક આપણે અહીં સહગુણકનું ગુણાકાર x ની 7 ઘાત સાથે કર્યો છે માટે પ્રથમ સહગુણક 10 છે ત્યાર બાદ બીજો સહગુણક -9 છે ત્રીજો સહગુણક 15 છે પછી તમે 9 ને સહગુણક તરીકે લઇ શકો કારણ કે આ 9 ને ફરીથી પણ લખી શકાય તમે અહીં 9 ની જગ્યાએ 9 ગુણ્યાં x ની 0 ઘાત પણ લખી શકો સામાન્ય શબ્દમાં બહુપદીને બાદ કરીએ તો બહુપદી એ પદોની નિશ્ચિત સંખ્યાનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક પદ પાસે સહગુણક હોય છે હું તેને વ્યાપક સ્વરૂપમાં a વડે દર્શાવી શકું ગુણ્યાં ચલ x અને આ ચલ x ની ઋણ પૂર્ણાંક ઘાત અનઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યાને હું n તરીકે દર્શાવીશું માટે અહીં આ a સહગુણક છે તે ધન કે ઋણ કોઈ પણ સંખ્યા હોઈ શકે તે કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે ત્યાર બાદ x એ ચલ છે અને અહીં આ સ્મોલ n અનઋણ સંખ્યા હોવી જોઈએ સ્મોલ n અનઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવી જોઈએ માટે મેં જે ગુલાબી રંગમાં લખ્યું છે તે બહુપદી નથી કારણ કે અહીં x ની ઘાત ઋણ સંખ્યા છે હવે બહુપદી ન હોય એવા હું તમને બીજા ઉદાહરણ આપું હું અહીં a ના વર્ગની જગ્યાએ આ પ્રમાણે લખીશ 9a ની 1 /2 ઘાત - 5 તો અહીં આ બહુપદી નથી કારણ કે a ની ઘાત પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી તે 1 /2 છે આને બીજી રીતે પણ લખી શકાય અને 9 ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં a - 5 અને તે પણ બહુપદી થશે નહિ અથવા જો હું આ પ્રમાણે લખું 9 ગુણ્યાં a ની a ઘાત - 5 તો તે પણ બહુપદી થશે નહિ કારણ કે અહીં a ની ઘાત ચલ છે એ અનઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી આમ આ બધા બહુપદી ન હોય તેના ઉદાહરણ છે હવે આપણે બીજા કેટલાક શબ્દો વિશે માહિતી મેળવીએ કોઈક પદાવલિ જેની પાસે ઘણા બધા પદ હોય જેની પાસે પદોની નિશ્ચિત સંખ્યા હોય તેને આપણે બહુપદી કહીએ છીએ જ્યાં દરેક પદનું સ્વરૂપ આ પ્રમાણેનું હોવું જોઈએ પરંતુ જયારે તમારી પાસે ફક્ત એક પદ હોય બે પદ હોય અથવા 3 પદ હોય તો તેના માટે વીશીષ્ટ નામ પણ છે જયારે તમારી પાસે ફક્ત એક જ પદ હોય ત્યારે તમે તેને એક પદી એટલે કે મોનોમિઅલ કહી શકો અહીં આ એકપદીનું ઉદાહરણ છે તમે તેને 6x ની 0 ઘાત તરીકે પણ લખી શકો કે પદીનું બીજું ઉદાહરણ 10 ગુણ્યાં z ની 15 ઘાત પણ હોઈ શકે ત્યાર બાદ તમારો સહગુણક પાઇ પણ હોઈ શકે પાઇ ગુણ્યાં b ની 5 ઘાત તો આ પણ એકપદીનું ઉદાહરણ થશે તો પછી દ્વિપદી કોને અહીં શકાય દ્વિપદી એટલે બે પદ એક પદી એટલે એક જ પદ માટે અહીં આ દ્વિપદીનું ઉદાહરણ છે આ બધી જ બહુપદી છે પરંતુ તેમનું વર્ગીકરણ આ પ્રમાણે કહી શકાય તેમાં એક અને બે પદ છે જો દ્વિપદીના બીજા ઉદાહરણની વાત કરીએ તો 3y નો ઘન + 5y થશે ફરીથી તમારી પાસે 2 પદ છે જેનું સ્વરૂપ આ પ્રમાણેનું છે હવે તમે કદાચ ત્રિપદી શબ્દ પણ સાંભળ્યો હશે ત્રિપદી એટલે 3 પદી અહીં આ તેનું ઉદાહરણ છે આ પ્રથમ પદ છે આ બીજું પદ છે અને આ ત્રીજું પદ છે હવે બહુપદીના સંધર્ભમાં તમે એક શબ્દ વારંવાર સાંભળશો અને તે ડિગ્રી ઓફ પોલીનોમિયલ એટલે કે બહુપદીની ઘાત છે તમે કદાચ લોકોને કહેતા સાંભળ્યું હશે કે બહુપદીની ઘાત શું છે અથવા બહુપદીમાં આપેલા પદની ઘાત શું છે તો સૌ પ્રથમ આપણે પદની ઘાતથી શરૂઆત કરીએ અહીં આ પ્રથમ પ્રથમ બહુપદીની વાત કરીએ તો તેનું પહેલું પદ 10x ની 7 ઘાત છે ઘાત એટલે આપણે ચલના ઘાતાંકમાં જે સંખ્યા લઇ રહ્યા છીએ તે આમ આ 7 ઘાત વાળું પદ છે આ બીજું પદ બે ઘાત વાળું પદ છે ત્રીજું પદ 3 ઘાત વાળું પદ છે અને આ ચોથું પદ જેને ફક્ત તમે 9 તરીકે પણ લઇ શકો તે 0 ઘાત વાળું પદ છે લોકો તેને ઘણી વખત અચલ પદ પણ કહે છે લોકો જયારે આખા બહુપદીની ઘાત વિશે વાત કરે ત્યારે તેનો અર્થ એ થાય કે મહત્તમ પદની કેટલી છે આપેલા પદની જે મહત્તમ ઘાત હોય તે આખા બહુપદીની ઘાત થશે માટે આ પ્રથમ બહુપદી 7 ઘાત વળી બહુપદી થશે ત્યાર બાદ આ બીજી બહુપદી 2 ઘાત વળી બહુપદી થશે કારણ કે અહીં પદની મહત્તમ ઘાત 2 છે તેવી જ રીતે અહીં આ બહુપદી 3 ઘાત વળી બહુપદી થશે તમે તેને 3 ઘાત વાળી દ્વિપદી પણ કહી શકો કારણ કે પદની મહત્તમ ઘાત 3 છે જો અહીં 5y ની જગ્યાએ 5 ઘાતની 7 ઘાત આપ્યું હોય તો તે 7 ઘાત વાળી દ્વિપદી થાય અહીં આ 15 ઘાત વાળી એકપદી છે ત્યાર બાદ આ નીચે બે ઘાત વાળી ત્રિપદી છે અને હું કેટલીક બાબતોનો પરિચય આપવા મંગુ છું જેમાંથી એક અગ્ર પદ અથવા અગ્ર સહગુનાક છે માટે અગ્ર સહગુણક અથવા અગ્ર પદ અગ્રનો અર્થ પ્રથમ પદ અથવા પ્રથમ સહગુણક થાય જો તમે અગ્ર પદની વાત કરી રહ્યા હોવ તો તે પ્રથમ પદ થાય અને જો અગ્ર સહગુણકની વાત કરી રહ્યા હોવ તો તે પ્રથમ પદનો સહગુણાંક થાય પરંતુ ઘણી વખત તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખેલી બહુપદી સાથે સાંકળવામાં આવે છે તેથી પ્રમાણિત સ્વરૂપ પ્રમાણિત સ્વરૂપ એટલે કે સ્ટાન્ડર્ડ ફોર્મ જેમાં તમે બહુપદીના પદોને ઘાતના ઉતારતા ક્રમમાં લખો છો એટલે કે તમે મહત્તમ ઘાતથી શરૂઆત કરો છો ઉદાહરણ તરીકે અહીં આ પ્રથમ બહુપદી તેના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી કારણ કે સૌથી પહેલા મેં મહત્તમ ઘાત લખી ત્યાર બાદ તેના પછીની મહત્તમ ઘાત આવવી જોઈએ જે x નો ઘન છે પરંતુ મેં અહીં x નો વર્ગ લખ્યો છે માટે તે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી જો મારે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવી હોય તો તે કંઈક આ પ્રમાણે થાય સૌ પ્રથમ 10x ની 7 ઘાત 7 એ મહત્તમ ઘાત છે ત્યાર બાદ + 15x નો ઘન કારણ કે x નો ઘન એ બીજી મહત્તમ ઘાત છે ઓછા 9x નો વર્ગ + 9 અથવા 9x ની 0 ઘાત તો હવે આ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે મેં ઘાતને તેના ઉતારતા ક્રમમાં લખ્યું છે મહત્તમ ઘાત વાળું પદ સૌથી પહેલા છે તો હવે તમારું અગ્ર પદ 10x ની 7 ઘાત થાય અને અગ્ર સહગુણક 10 થશે આપણે આ વિડિઓમાં ઘણું બધું શીખ્યા આશા છે કે હવે તમને બહુપદીનો અર્થ સમજાઈ ગયો હશે