સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહાયેલી સ્થિતિ ઊર્જા

આપણી પાસે અહીં લીલા રંગની સ્પ્રિંગ છે અને તે દીવાલ સાથે જોડાયેલી છે ધારો કે અહીં આ સ્પ્રિંગનું મૂળભૂત સ્થાન છે જો હું આ સ્પ્રિંગ પર કોઈ પણ પ્રકારનો ધક્કો લગાડું નહિ જો હું તેને ખેંચું નહિ તો તે આ પ્રકારની સ્થિતિમાં હશે પરંતુ જો હું આ સ્પ્રિંગ પર ધક્કો લગાડું તો તે ડાબી દિશામાં x જેટલું સ્થાનાંતર કરશે અને આપણે અહીં ફક્ત મૂલ્યને જ ધ્યાનમાં લઈશું આપણે તેની દિશાને ધ્યાનમાં લઈશું નહિ હવે જયારે હું આ સ્પ્રિંગનું સંકોચન કરું ત્યારે જુદા જુદા બિંદુઓ આગળ કેટલું બળ લગાડું છું તેનો આલેખ હું દોરવા મંગુ છું અને પછી તે આલેખનો ઉપયોગ કરીને આ સ્પ્રીંગનું સંકોચન કરવા આપણે કેટલું કાર્ય કર્યું તે શોધી શકાય ધારો કે આ y અક્ષ છે અને આ x અક્ષ છે અહીં x અક્ષ એ મેં કેટલું સ્પ્રિંગનું સંકોચન કર્યું તે દર્શાવે અને y અક્ષ મેં તેના પર કેટલું બળ લગાડ્યું તે દર્શાવે હવે જયારે સ્પ્રિંગ અહીં સુધી હોય જયારે તે પોતાની મૂળ સ્થિતિમાં હોય ત્યારે તેનું થોડું સંકોચન કરવા મારે કેટલું બળ લગાડવું જોઈએ હવે અહીં આ સ્પ્રિંગની મૂળ સ્થિતિ છે અને આપણે હુકના નિયમ પરથી જાણીએ છીએ કે પુનઃ સ્થાપક બળ બરાબર હું અહીં r લખીશ પુનઃ સ્થાપક બળ એટલે કે રિસ્ટોરેટિવ ફોર્સ બરાબર -k જ્યાં k એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે ગુણ્યાં સ્થાનાંતર અને જે પણ સ્પ્રિંગને ધક્કો મારી રહ્યું છે તેન પર સ્પ્રિંગ આટલું બળ લગાડે માટે સ્પ્રિંગનું સંકોચન કરવા માટે જરૂરી બળ આને સમાન જ હશે પરંતુ તે x ની દિશામાં જ હશે જો હું સ્પ્રિંગનો સંકોચન ડાબી તરફ કરતી હોવ તો હું જે બળ લગાડું છું તે પણ ડાબી બાજુએ હશે તેને આપણે સંકોચન માટેનું જરૂરી બળ કહીશું ફોર્સ ઓફ કમ્પ્રેશન અને તેના બરાબર k ગુણ્યાં x થાય હવે જયારે સ્પ્રિંગનું સંકોચન થયું હોય અને તે કોઈ પણ દિશામાં પ્રવેગિત ન હોય સંકોચન માટેનું જરૂરી બળ બરાબર પુનઃ સ્થાપક બળ થાય તેથી હું અહીં સંકોચન માટેનું બળ વિરુદ્ધ x નું આલેખ દોરીશ હવે અહીં આ ઉદામાં x ડાબી બાજુએ વધે છે તે તમે સમજી શકો અહીં આ x = 0 છે અને આ x = 10 હોઈ શકે આપણે 10 મીટર જેટલું સંકોચન કર્યું હવે આપે કેટલું બળ લગાડીએ છીએ તે જોઈએ હવે જો x =0 હોય અહીં આ જગ્યાએ તો સ્પ્રિંગનું સંકોચન કરવા મારે કેટલું બળ આપવું પડે જો આપણે 0 બળ આપીએ તો સ્પ્રિંગ ગતિ કરશે નહિ પરંતુ જો આપણે ખુબ જ ઓછું બળ લગાડીએ તો સ્પ્રિંગ થોડું સંકોચન કરશે કારણ કે તે ક્ષણે સંકોચન માટેનું બળ 0 ની ખુબ જ નજીક હશે તેથી જયારે સ્પ્રિંગનું ખુબ જ ઓછું સંકોચન થાય ત્યારે આપણે લગભગ 0 ની નજીક બળ લગાડીએ છીએ જો સ્પ્રિંગનું 0 જેટલું સ્થાનાંત કરવું હોય તો આપણે 0 જેટલું બળ લગાડવું પડે પરંતુ જો સ્પ્રિંગનો સ્થાનાંતર થોડું કરવું હોય તો આપણે થોડું બળ લગાડવું પડે હવે ધારો કે આ 1 મીટર છે અહીં આ 1 મીટર છે સ્પ્રિંગનું 1 મીટર જેટલું સંકોચન કરાવવા તેને અહીં જ જાળવી રાખવા મારે કેટલું બળ આપવું જોઈએ ધારો કે અહીં આ 1 મીટર છે તો સંકોચન માટેનું જરૂરી બળ k ગુણ્યાં 1 એટલે કે k થશે અને k અહીં આવશે યાદ રાખો કે તમે પહેલા 0 બળ આપો છો અને પછી તરત જ k બળ નથી આપતા તમે આ બળને થોડું થોડું વધારો છો સ્પ્રિંગનું થોડું સંકોચન થવા તમે થોડું બળ આપતા રહો છો માટે 1 મીટર જેટલું સંકોચન થવા k જેટલું બળ જરૂરી છે આમ 1 મીટર માટે k જેટલું બળ અને પછી અહીં સુધી જવા તમારે તમારા બળનું મૂલ્ય વધારવું પડે ત્યારબાદ 2 મીટર માટે અહીં આ 2 મીટર અને આ 1 મીટર છે 2 મીટર માટે 2k જેટલું બળ જોઈશે જે આ બિંદુ આવશે અને તમે અહીં જોઈ શકો કે એક રેખા રચાય રહી છે અને તે રેખા કંઈક આ પ્રમાણેની દેખાશે આમઅહીં સ્થિર અવસ્થામાંથી સ્પ્રિંગના સ્થાનાંતરના વિધેય તરીકે તમારે આટલું બળ લગાડવાની જરૂર છે અહીં આલેખમાં ધન x જમણી બાજુએ જાય છે પરંતુ અહીં આ આકૃતિમાં ધન x ડાબી બાજુએ જાય છે આપણે ફક્ત તેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય જ લઇ રહ્યા છીએ આપણે તેની દિશા વિશે નથી વિચારતા હવે અહીં શું થઇ રહ્યું છે તેના વિશે વિચારીએ જો તમે પ્રારંભમાં ખુબ જ વધારે બળ લગાડો તો આ સ્પ્રિંગ ખુબ જ ઝડપથી પ્રવેગિત થશે કારણ કે અહીં પુનઃ સ્થાપક બળ કરતા તમે લગાડેલું બળ ખુબ વધારે છેતેથી તે પ્રવેગિત થશે અનેપછી કદાચ પછી પોતાની મૂળ સ્થિતિમાં આવશે આપણે આ ઉદા પછી જોઈશું પરંતુ ચોક્કસ અંતર જેટલું આ સ્પ્રિંગનું સ્થાનાંતર કરાવવા માટે તમારે બળને ધીરે ધીરે વધારવું જોઈએ જેથી આ પુનઃ સ્થાપક બળને દૂર કરી શકાય કદાચ તમે અહીં સમજી શકો કે બળ એ સ્થાનાંતરના વિધેય તરીકે આશા છે કે તમે અહીં સમજી શકો કે બળ એ સ્થાનાંતરના વિધેય તરીકે સમ પ્રમાણમાં વધે છે કારણ કે અહીં આ સુરેખ સમીકરણ છે હવે તેનો ઢાળ શું થાય તેનો ઢાળ બરાબર y માં થતો ફેરફાર છેદમાં x માં થતો ફેરફાર જો હું x માં 1 મીટર જેટલો વધારો કરું તો y માં થતો વધારો શું થાય આવા 1 મીટર જેટલો વધારો કરીએ તો y માં થતો ફેરફાર k છે તેથી અહીં આ રેખાનો ઢાળ k છે માટે આ આલેખનો ઉપયોગ કરીને આ સ્પ્રિંગનું સંકોચન કરાવવા મારે કેટલું કાર્ય કરવું પડે તે શોધીએ ધારો કે અહીં આ x0 છે x એ સામાન્ય ચલ છે ણ x0 એ ચોક્કસ સંખ્યા છે તે 10 પણ હોઈ શકે અને બીજું કઈ પણ હોઈ શકે હવે જરૂરી કાર્ય કેટલું છે તે જોઈએ હવે કાર્યની વ્યાખ્યા શું છે કાર્ય બરાબર સ્થાનાંતરની દિશામાં બળ ગુણ્યાં સ્થાનાંતર બરાબર ને હવે આપણે કેટલું સ્થાનાંતર કર્યું તે જોઈએ ધારો કે આપણે 0 થી શરૂઆત કરીને અહીં સુધી જઈએ છીએ આપણે આટલું સ્થાનાંતર કર્યું છે તો હવે માટે કેટલા બળની જરૂર છે અહીં આ આખા સમય દરમિયાન બળ ધીમે ધીમે વધી રહ્યું છે તેથી આપણને જરૂરી બળ આટલું થશે હું અહીં માત્ર અંદાજ લઇ રહી છું આપણું બળ લગભગ આટલું થશે આ ચોરસ જેટલું હવે જો વધુ થોડું સ્થાનાંતર કરીએ તો અહીં આપણું બળ આટલું વધશે તે લગભગ આટલું થાય અહીં આ બળ છે અને આ સ્થાનાંતર છે હવે તમે અહીં જોઈ શકો કે મેં કરેલું કાર્ય બરાબર આ વક્રની નીચેનો વિસ્તાર આ દરેક લંબચોરસનો સરવાળો કારણ કે આ લંબચોરસની ઊંચાઈ એ મેં લાગુ પડેલું બળ છે અને તેની પહોળાઈ એ તેનું સ્થાનાંતર છે માટે કાર્ય એ આ બધા જ લંબચોરસનો સરવાળો થશે અને મેં તેમને જે પ્રમાણે દોર્યા છે તેનો હું ફક્ત અંદાજ લઇ રહી છું તેઓ બધા જ આ ચોક્કસ રેખાની નીચે આવશે નહિ તમારે તેના માટે વધુ નાનાને નાના લંબચોરસ લેવા પડે જેથી તમને વધારે લંબચોરસ મળે અને પછી તમે તેનો અંદાજ સારી રીતે લઇ શકો હવે હું અહીં સંકલિત કલન શાસ્ત્રની વાત કરી રહી છું જો તમે તે જાણતા ન હોવ તો તમારે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી પરંતુ કાર્ય બરાબર એ આ રેખાની નીચેનો વિસ્તાર થશે માટે આ સ્પ્રિંગનું x મીટર જેટલું સ્થાનાંતર કરાવવા માટે જરૂરી કાર્ય અહીંથી અહીં સુધીનું ક્ષેત્રફળ થશે હવે તે ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય અહીં આ ત્રિકોણ છે આપણે તેનો પાયો અને તેની ઊંચાઈ જવાની જરૂર છે અને પછી તેને 1 /2 સાથે ગુણીએ તો આપણને તેનું ક્ષેત્રફળ મળે હવે તેનો પાયો શું છે તેથી સ્પ્રિંગનું x મીટર જેટલું સંકોચન કરાવવા જરૂરી કાર્ય અહીંથી અહીં સુધીનું ક્ષેત્રફળ થશે અને તે ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય અહીં આ ત્રિકોણ છે તેના માટે આપણે ત્રિકોણનો પાયો અને ત્રિકોણની ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે અને પછી તેને 1 /2 સાથે ગુણતા આપણને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મળે હવે આ ત્રિકોણનો પાયો કેટલો છે તેનો પાયો k0 થશે અને ત્યાર બાદ તેની ઊંચાઈ કેટલી થાય અહીં રેખાનો ઢાળ k છે તેથી તેની આ ઊંચાઈ x0 ગુણ્યાં k થશે તેથી અહીં આ બિંદુ x0 ,x0 ગુણ્યાં k થાય હવે વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ શું થાય તે સ્પ્રિંગનું સંકોચન x0 મીટર જેટલું કરવા જરૂરી કાર્ય થશે તેથી તેના બરાબર x0 જે ત્રિકોણનો પાયો છે ગુણ્યાં ત્રિકોણની ઊંચાઈ જે x0 ગુણ્યાં k છે ગુણ્યાં 1 /2 કરીશુ કારણ કે આ ત્રિકોણ છે માટે તેના બરાબર 1/2k ગુણ્યાં x0નો વર્ગ અને જોતમે કલન શાસ્ત્ર જાણતા હોવ તો આ સંકલિતમાં kx dx ને સમાન છે પરંતુ આપણે હમણાં તેના પર વધુ ધ્યાન આપશું નહિ આમ અહીં આ સ્પ્રિંગનું x0 જેટલું સ્થાનાંતર કરવા માટે જરૂરી કુલ કાર્ય થશે અને હવે તે ઉપયોગી શા માટે છે કારણ કે સ્પ્રિંગનું આટલું સંકોચન કરાવવા માટે જરૂરી કાર્ય બરાબર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહાયેલી સ્થિતિઉર્જા હવે ધારો કે હું તમને એમ કહું કે મારીપાસે એક સ્પ્રિંગ છે તેનું સ્પ્રિંગ અચળાંક એટલે કે k = 10 છે અને હું તે સ્પ્રિંગનું 5 મીટર જેટલું સંકોચન કરવું છું માટે x0 = 5 મીટર તો સ્પ્રિંગ માની સ્થિતિ ઉર્જા શું થાય તેથી સ્થિતિ ઉર્જા એટલે કે પોટેન્શિયલ એનર્જી બરાબર 1/2 ગુણ્યાં k ગુણ્યાં xનો વર્ગ માટે 1/2 ગુણ્યાં 10 ગુણ્યાં 5 નો વર્ગ જે 25 થશે અને તેના બરાબર 125 ઉર્જા અને કાર્યનો એકમ જુલ છે માટે 125 જુલ અને હવે અહીં આ યાદ રાખવું ખુબ જ જરૂરી છેતે ક્યાંથી આવ્યું તેની તમને સમજ પડી ગઈ હશે હવે તમને સમજાયું હશે કે સ્પ્રિંગનું આટલું સંકોચન કરવા માટે જરૂરી કાર્ય આ થશે અને તે સ્પ્રિંગનું સંકોચન થયા બાદ તે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહાયેલી સ્થિતિ ઉર્જા આ થશે અને હવે પછીના વિડિઓમાં આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગમાં કેટલી સ્થિતિ ઉર્જાનો સંગ્રહ થાય છે તેનો આપણે મહાવરો કરીશું.