બંને બાજુએ ચલ હોય તેવા સમીકરણનો પરિચય

સમીકારણ નો થોડો વધુ મહાવરો કરીએ ધારો કે આપણી પાસે એક સમીકરણ છે 2x + 3 = 5x - 2 હવે કદાચ તમને આ થોડું અઘરું લાગતું હશે કારણ કે અહી બંને બાજુ ચલ છે તેમજ અમુક સંખ્યા ઉમેરેલી છે અમુક બાદ કરેલી છે અને તે આપણે અલગ અલગ રીતે ઉકેલીશું સમીકરણ માં સૌપ્રથમ એક વાતનું એ ધ્યાન રાખવાનું છે કે x વાળા દરેક પદ = ની એકજ બાજુએ હોવા જોઈએ અને પછી જેમ જેમ આગળ સાદુરૂપ આપતા જઈએ તેમ આપણને x ની કિંમત મળી જશે અને પછી આપણે તે ચકાસી પણ શકીએ કે x ની કિંમત સાચી છે કે નહિ તો x ને કર્તા બનાવવા અમુક ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરીએ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના નિયમો કયા છે કયા યાદ રાખવા કયા ન રાખવા તે વિચારવા ને બદલે આપણે સમીકરણ ને થોડું અલગ રીતે સમજીએ અહી થી શરુ કરીએ આપણી પાસે 2x છે જેને આરીતે પણ દર્શાવી શકાય કે x + x અને આ જે 3 છે તેને આ રીતે લખીએ + 1 + 1 + 1 આમ આ 3 ને આપણે 1 + 1 + 1 વડે દર્શાવેલ છે જેને અલગ અલગ આકૃતિઓ વડે પણ દર્શાવી શકાય અહી હું 3 વર્તુળ પણ દોરી શકું અને તે બરાબર છે આ પદ ને જેમાં 5x છે અને 5x ને આ રીતે દર્શાવીએ એટલે કે x + x + x + x + x તમારે સમીકરણ ઉકેલતી વખતે દર વખતે આરીતે કરવાની જરૂર નથી પણ અહી આપણે આ બાબત દ્વારા એ સમજી રહ્યા છીએ કે ખરેખર અહી શું થઇ રહ્યું છે અને હવે આ જે -2 છે તેને દર્શાવીએ તે થશે -1 -1 હવે x ને કર્તા બનાવવાના છે અને તે બે રીતે કરી શકાય એક રીત એ છે કે બંને બાજુએ થી 2x બાદ કરીએ જેથી કરીને જમણી બાજુએ આ જે 5x છે તેમાંથી 2x બાદ થઇ જતા આપણી પાસે +3x મળે અથવા તો બંને બાજુએ થી 5x પણ બાદ કરી શકાય તમે તે કોઈ પણ રીતે કરી શકો આપણે 2x બાદ કરીએ એટલે કે ડાબી બાજુએ થી આ બંને x દુર કરીએ તો હવે જમણી બાજુએ થી પણ 2x દુર કરવા પડશે અહી તે બાબત ને ગાણિતિક રીતે દર્શાવીએ એટલે કે બંને બાજુએ 2x બાદ કરીએ તો ડાબી બાજુ આપણી પાસે 2x માંથી 2x બાદ થઇ જશે માટે ફક્ત 3 વધે જે અહી પણ જોઈ શકાય કે આ બંને x દુર થઇ ગયા પછી આપણી પાસે 3 વખત 1 એટલે કે 3 બાકી રહે છે જયારે જમણી બાજુ 5x માંથી 2x બાદ કરતા 3x બાકી રહે જુઓ અહી 5 વખત x હતા જેમાંથી 2 વખત x દુર કર્યા માટે 1 , 2 અને 3 વખત x બાકી રહે છે અને -2 પણ આપણી પાસે છે હવે આગળ શું થઇ શકે હજી પણ આપણે એ બાબત ધ્યાન માં લેવાની છે કે આપણને x ને કર્તા બનવાના છે તો આ = ની જમણી બાજુએ જે -2 છે તેને દુર કરવા પડે જેથી અહી ફક્ત x વાળું પદ બાકી રહે તો આ -2 ને દુર કરવા માટે અહી જે 2 વખત -1 છે તેમાં બે વખત 1 ઉમેરીએ એટલે કે +1 +1 અને તેજ બાબત ડાબી બાજુ પણ કરવી પડે માટે અહી પણ +1 +1 તેને અહી પણ દર્શાવીએ એટલે કે + 2 + 2 બંને બાજુએ 2 ઉમેરિયા તો હવે સમીકરણ ની ડાબી બાજુએ આપણી પાસે ફક્ત 5 વધે 3 + 2 બરાબર 5 અને જમણી બાજુ - 2 + 2 ની કિંમત 0 થઇ જાય તેથી ફક્ત 3x બાકી રહે અહી પણ જોઈએ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 પાચ વખત 1 છે જેની કુલ કિંમત 5 અને જમણી બાજુ 1 , 2 , 3 વખત x જે અહી 3x છે અને -1 +1 ની કિંમત 0 તેજ રીતે આ -1 અને +1 પણ કેન્સલ થઇ જશે માટે 5 = 3x આ બાબત ને થોડું સ્પષ્ટ બનાવીએ અહી થી જે આપણે કેન્સલ કર્યું છે તેને ક્લીયર કરી દઈએ જુઓ કે હવે અહી 5 વખત 1 છે આ પદ મેં પણ કટ કરીને ઉપર પેસ્ટ કરું છુ 1 + 1 આ વધારા ના + ને અહી થી ક્લીયર કરી દઈએ તેજ રીતે આ બાજુ ના પણ કેન્સલ થયેલા પદ દુર કરીએ જેથી આપણે આખી બાબત ને વ્યવસ્થિત સમજી શકીએ આમ હવે આપણી પાસે ડાબી બાજુએ 5 વખત 1 છે અને જમણી બાજુ 3 વખત x છે માટે 5 = 3x હવે x ની સાથે જે 3 ગુણાકાર ના સબંદ માં છે તેને દુર કરવા બંને બાજુએ 3 વડે ભાગકર કરીએ તેને આ રીતે સમજવાનું થોડું અઘરું છે પણ અહી આપણે તે સમજી શકીએ બંને બાજુએ 3 વડે ભાગતા માટે 3 નો 3 સાથે છેદ ઉડી જશે = ની જમણી બાજુએ ફક્ત x વધે તેમજ ડાબી બાજુએ બાકી રહે છે 5 ના છેદ માં 3 આ રીતે આપણે પહેલી વખત જોઈ રહ્યા છીએ કે x જમણી તરફ છે ને કિંમત ડાબી તરફ છે પણ તે યોગ્ય છે આ રીતે પણ જવાબ સાચો જ છે 5 ના છેદ માં 3 = x ને આપણે x = 5 ના છેદ માં 3 આ રીતે પણ લખી શકાય બંને સમાન બાબત છે તેને મિશ્ર સંખ્યા માં ફેરવતા આપણે આરીતે પણ લખી શકીએ કે x = છેદ માં 3 5 ને 3 વડે ભાગીએ એટલે કે 3 એકા 3 અને શેષ વધે 2 આમ x = 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ હવે તે જવાબ સાચો છે કે નહિ તે x ની જગ્યાએ કિંમત મુકીને તમે જાતે ચકાસીને જુઓ ચાલો હવે આ રીતે પણ સમજીએ કે 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ કઈ રીતે મળ્યા તે માટે અહી 5 વખત 1 લખવાને બદલે હું 5 ચોરસ દોરું છુ એક , બે , ત્રણ , ચાર અને પાચ ચોરસ તેમજ જમણી બાજુએ ત્રણ વખત x , x + x + x આ બાજુ જે આપણે ત્રણ વડે ભાગકાર કર્યો હતો તેને અહી કઈ રીતે દર્શાવીએ જમણી બાજુએ તો એકદમ સરળ છે બે ત્રણ ભાગ કરી દીધા આમ 1 , 2 અને 3 ભાગ થઇ ગયા હવે આ 5 ના ત્રણ ભાગ કઈ રીતે કરીએ આપણને જવાબ મળે છે 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ માટે આ એક આખું ચોરસ અને આ ચોરસ ના ત્રણ ભાગ વિચારીએ અને તેમાંથી બે ભાગ લઈએ એટલે કે હું તેને અહી થી વિભાજીત કરું છુ જેમાં આ આખો એક ચોરસ અને આ 2 તૃત્યાંસ ભાગ જેટલો ચોરસ છે માટે આપણે લખી શકીએ કે 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ જયારે હવે અહી આપણી પાસે 1 તૃત્યાંસ છે અને 1 તૃત્યાંસ આ આકૃતિ માંથી લઈએ માટે થાય આ 2 તૃત્યાંસ અને આ આખો એક ચોરસ એટલે કે 1 પૂર્ણાંક આમ 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ અહી લખીએ 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ તેમજ આ જે બાકીનો ભાગ છે તે 2 તૃત્યાંસ જેટલો છે અને આખો એક ચોરસ જે 1 પૂર્ણાંક દર્શાવે છે માટે અહી પણ 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ આ 5 ચોરસ ના 3 એક સરખા ભાગ કરીએ તો દરેક ભાગમાં 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ જેટલા ચોરસ મળે છે માટે x ની કિંમત થઇ 1 પૂર્ણાંક 2 તૃત્યાંસ જે 5 તૃત્યાંસ ને બરાબર છે