શ્રેણીનો વ્યવહારિક પ્રશ્ન : પેટર્નમાં વધારો

અહીં એક પ્રશ્ન છે કે નીચે આપેલા બ્લોક ની શ્રેણી માં છતાં વધારા ની ભાગ ને કાયા સમીકરણ ઘ્વારા દર્શાવી શકાય હવે જો આપણે એમ કહીએ કે x =10 છે તો આપણી પાસે કેટલા બ્લોક હશે તો ચાલો આ પેટર્ન એટલે કે ભાટ ને સમજીએ અહીં આપણી પાસે જે પહેલું પદ છે અથવા પેહલી વસ્તુ છે તેમાં 1 બ્લોક છે તેથી તેને આ રીતે દર્શાવીએ અહીં લખીએ પદ એક કોષ્ટક જેવું બનાવીએ અને અહીં લખીએ બ્લોકની સંખ્યા પદ અને બ્લોક ની સંખ્યા અહીં જે પહેલું પદ છે તેમાં એકજ બ્લોક છે એટલે કે અહીં લખીએ 1 ત્યારબાદ બીજા પદ માં અહીં 1 બ્લોક તો છેજ પણ બીજા 4 બ્લોક નું 1 કોલમ અહીં ઉમેરેલ છે તેથી હવે બીજા પદ માં કુલ 5 બ્લોક છે ત્રીજા પદ ની વાત કરીએ તો આ જે બીજું પદ છે તેના જે બ્લોક છે તે અહીં દેખાય છે પણ ફરીથી ડાબી બાજુ એક વધુ કોલમ ઉમેર્યું છે જેમાં 4 વધુ બ્લોક છે તેથી 4 બ્લોક નો વધારો થતા 9 બ્લોક થશે ચોથા પદ ની વાત કરીએ તો અહીં પણ એવુજ દેખાય છે જુઓ કે આ જે બ્લોક્સ છે તે ત્રીજું પદ દર્શાવે છે અને ડાબી બાજુ 4 બ્લોક નું વધુ એક કોલમ ઉમેરેલ છે માટે વધુ 4 નો વધારો કરીએ તેથી હાઈ થશે 13 હવે આ બાબતને આધારે આપણે કોઈ સૂત્ર દર્શાવી શકીએ કે કેમ તે માટે આપણે આ આકૃતિ અથવા આ સંખ્યાઓ નો ઉપયોગ કરી શકીએ અહીં ધારોકે આ પદ તે x ને બરાબર છે અહીં x બરાબર 1 છે ત્યારબાદ બીજા પદ માં અહીં અહીં 1 બ્લોક તો છેજ પણ 4 બ્લોક ધરાવતું એક કોલમ ઉમેરેલ છે આમ અહીં શકાય કે જયારે x બરાબર 2 છે ત્યારે 4 બ્લોક નું 1 કોલમ અહીં ઉમેરેલ છે અહીં x બરાબર 3 છે ત્યારે 4 બ્લોક ધરાવતા 2 કોલમ અહીં ઉમેરેલ છે અને અહીં એમ પણ લખી શકાય કે જયારે x =1 છે ત્યારે અહીં 4 બ્લોક ધરાવતું આવું એક પણ કોલમ નથી એટલે કે 0 કોલમ છે અને જયારે x =4 છે ત્યારે 4 બ્લોક ધરાવતા આપણી પાસે 3 કોલમ ઉમેરેલ છે તો હવે આ પેટર્ન ને આપણે કયી રીતે દર્શાવી શકાય દરેક આપેલ પદ માટે બ્લોક્સ ની સંખ્યા ને કયી રીતે દર્શાવી શકાય માટે આપણે આ રીતે લખી શકીએ કે બ્લોક ની સંખ્યા બરાબર હવે દરેક પદ્મ આપણી પાસે 1 બ્લોક તો છેજ જો દરેક છે એટલે કે અહીં લખીએ 1 વત્તા જેટલા મુ પદ છે તેમાંથી 1 બાદ કરતા આપણને જે સંખ્યા મળે તેતલા કોલમ અહીં છે અહીં x =2 છે તો x માંથી 1 બાદ કરતા આપણને 1 મળે અહીં x =3 છે તો x ઓછા 1 કરતા 2 મળે x બરાબર 4 લઈએ તો x ઓછા 1 કરતા 3 મળે આમ 1 વત્તા x ઓછા 1 કોલમ અને દરેક કોલમ માં આપણી પાસે 4 બ્લોક છે તેથી તેને ગુણયે 4 આમ અહીં આ જે x -1 છે તે કોલમ ની સંખ્યા દર્શાવે છે કોલમની સંખ્યા અને દરેક કોલમ 4 બ્લોક છે જે આપણે અહીં જોઈ શકીએ છે માટે કહી શકાય કે આ જે સમીકરણ છે તે અહીં થતા વધારા ની ભાટ ને દર્શાવે એટલે કે ગરોઠ પેટર્ન દર્શાવે છે હવે જો અહીં વધુ સાદુંરૂપ આપીએ તો 1 વત્તા અહીં 4 નું વિભાજન કરીએ તો 4 ગુણ્યાં x =4x અને 4 - 1 સાથે ગુણતા -4 મળે હવે 1 -4 બરાબર -3 થાય તો અહીં 4x ઓછા 3 આ જે સમીકરણ મળ્યું તે બ્લોકની સંખ્યા દર્શાવે છે અને તે x ની કોઈ પણ કિંમત માટે સાચું હોઈ જો x =50 લઈએ તો 50 ગુણ્યાં 4 બરાબર 200 અને તેમાંથી 3 બાદ કરતા 197 મળે આ x બરાબર 50 માટે બ્લોક ની સંખ્યા 197 હોઈ આપણે તે બીજી રીતે પણ જોઈ શકીએ અહીં જુઓ કે દરેક માં 4 નો વધારો થાય છે એટલે કે અહીં માટે અહીં સુરેખ સબંધ છે અને આ દરેક બિંદુ ને જોડતી રેખા નો ઢાલ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માટે છે તેઉ મણિ લઈએ હવે આપણે દરેક પદ માટે વિચારીએ તો 4 બ્લોક નો વધારો થાય તેથી તેને આ રીતે દર્શાવીએ બ્લોક માં થતો ફેરફાર અને આ આજે ત્રિકોણ ની નિશાની છે તે તેને ડેલ્ટા કહેવાય જે ફેરફાર દર્શાવવા માટેનું ચિન્હ છે માટે બ્લોક માં થતો ફેરફાર છેદમાં x માં થતો ફેરફાર અને આ બાબત ને અને બાબત નો ઉપયોગ આપણે ઢાલ દર્શાવવા માટે કરતા હોઈએ છે હવે જોઈએ કે આપણને સુ મળે છે x માં થતો ફેરફાર એટલે કે આપણે 1 પરથી 2 પર ગયા માટે તેને આ રીતે દર્શાવીએ કે 2 ઓછા 1 તો તે ફેરફાર માટે બ્લોક માં કેટલો ફેરફાર થાય તે ફેરફાર છે 5 ઓછા 1 છે બરાબર 5 ઓછા 1 હવે અહીં થશે 4 અને છેદમાં આપણને મળે આપણને મળે 1 માટે 4 ના છેદમાં 1 બરાબર 4 આમ x માં થતા ફેરફાર માટે બ્લોક માં થતા ફેરફાર માં તે બ્લોક માં થતા ફેરફાર ની કિંમત આપણને 4 મળી એટલે કે 18 ની કિંમત 4 છે હવે આના આધારે જો રેખા નું સમીકરણ બનાવવું હોઈ તો તેને આ રીતે બતાવી શકાય કે બ્લોક ની સંખ્યા બરાબર 4 ગુણ્યાં x x એટલે કે પદ ની સંખ્યા વત્તા કોઈ અચલ સંખ્યા b આમ આ જે છે એ રેખા નો ઢાલ છે તો હવે આ જે અચલ પદ છે d તે કયી રીતે મેળવીએ તે માટે આપણે એમાંથી કોઈ પણ કિંમત લયશકીએ અહીં પહેલું પદ છે એક અને તે માટે બ્લોક ની સંખ્યા છે 1 તેથી 4 ગુણ્યાં પહેલું પદ એટલે કે 1 વત્તા b અને પેહલા પદ માં બ્લોક ની સંખ્યા છે 1 સાદુંરૂપ આપતા 1 બરાબર 4 ગુણ્યાં 1 બરાબર 4 વત્તા b સામીકરણની બંને બાજુએ 4 બાદ કરતા ડાબી બાજુ -3 અને જમણી બાજુએ 4 ઓછા 4 બરાબર 0 તેથી ફક્ત b બાકી રહે આમ b ની કિંમત આપણે -3 મેળવી તેના માટે આપણે દરેક x માં થતા ફેરફાર માટે બ્લોક ની સંખ્યા માં થતો ફેરફાર જોયો જયારે x માં નો ફેરફાર થાય છે ત્યારે બ્લોક ની સંખ્યા માં 4 જેટલો વધારો થાય છે આમ અહીં આપણને જે કિંમત મળી તે રેખા નો ઢાલ છે તેના આધારે આપણે આ સમીકરણ પરથી અચલ પદ b ની કિંમત મેળવી જે એક રેખા નું સમીકરણ હોઈ તેવું કહી શકાય જે રેખા ફક્ત ધન પૂર્ણાંકો માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને ત્યારબાદ અહીં કોષ્ટક માં આપેલી કિંમત નો ઉપયોગ કરીને આપણે સાદુંરૂપ આપિયું આપણે અહીંથી કોઈ પણ કિંમતો નો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે અહીં 1 ના અને 1 લઈને ગણતરી કરી તમે 3 અને 9 લઈને પણ ગણતરી કરી શકો b ની કિંમત -3 જ મળશે આમ b ની કિંમત -3 મા મલ્ટા સમીકરણ મળ્યું 4x ઓછા 3 જે આપણે અહીં મેળવ્યું હતું