સ્વતંત્ર સંભાવના: સિક્કા

તમારી પાસે થેલીમાં 8 સિક્કાઓ છે તેમાંના ત્રણ અસમતોલ છે બાકીના સમતોલ છે એટલે કે બાકીના પાંચ સિક્કાઓ સમતોલ છે ત્રણ અસમતોલ સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે ત્યારે છાપ આવવાની શક્યતા 60 ટકા છે હવે જયારે તેઓ સમતોલ સિક્કો કહે ત્યારે તેનો અર્થ એ થાય કે છાપ અથવા કાટ મળવાની સંભાવના 50 ટકા છે તમે થેલીમાંથી યાદ્દચિક રીતે 1 સિક્કો પસંદ કરો છો અને તેને બે વખત ઉછાળો છો બે છાપ મળવાની સંભાવના ટકાવારીમાં શું થાય અહીં આ એક રસપ્રત પ્રશ્ન છે આપણી પાસે એક થેલી છે અને તેમાં ત્રણ સિક્કાઓ અસમતલ છે બાકીના પાંચ સમતોલ સિક્કા છે હું સમતોલ સિક્કાઓને સફેદ રંગ વડે દર્શાવીશું 1 ,2 ,3 ,4 ,5 આ સમતોલ સિક્કાઓ છે બાકીના ત્રણ સિક્કા અસમતોલ છે આ ત્રણ સિક્કા અને અહીં આ મારી થેલી છે થલીમાં 8 સિક્કાઓ છે હવે જો હું થેલીમાં અંદર હાથ નાખું મને સફેદ સિક્કો મળે તો સફેદ સિક્કાને ઉછળતા છાપ મળવાની સંભાવના 50 ટકા થાય આ સફેદ સિક્કા સાથે બે છાપ એક જ હરોળમાં મળવાની સંભાવના 50 ટકા ગુણ્યાં 50 ટકા થાય પરંતુ મને સફેદ સિક્કો મળશે જ એવું હું જાણતી નથી મને આ નારંગી સિક્કો પણ મળી શકે નારંગી સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે ત્યારે છાપ મળવાની સંભાવના 60 ટકા છે તેથી જો આપણે નારંગી સિક્કાની વાત કરીએ તો એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના 60 ટકા ગુણ્યાં 60 ટકા થાય તો હવે આપણે સફેદ કે નારંગી માંથી કયો સિક્કો પસંદ કરીએ છીએ તે જાણતા નથી તો આ પ્રશ્નને ગણતરી કઈ રીતે કરી શક્ય તો તેના માટે હું અહીં એક સંભાવના વૃક્ષ દોરીશ જે કંઈક આ પ્રમાણે આવશે હું સમતોલ સિક્કો પસંદ કરું તેની કેટલીક સંભાવના છે અને હું અસમતોલ સિક્કો પસંદ કરું તેની પણ કેટલીક સંભાવના છે હવે હું સમતોલ સિક્કો પસંદ કરું તેની સાંબાવના શું છે અહીં આપણી પાસે 1 ,2 ,3 ,4 ,5 સમતોલ સિક્કા છે માટે સમતોલ સિક્કો પસંદ કરું તેની સંભાવના 5 / 8 થાય તેવી જ રીતે આપણી પાસે આ 8 સિક્કાઓ માંથી 3 સિક્કાઓ અસમતોલ છે તેથી અસમતોલ સિક્કાને પસંદ કરું તેની સંભાવના 3 /8 થાય જો હું તમને ફક્ત એમ પૂછું કે સમતોલ સિક્કો મળવાની સંભાવના શું છે તો તમે 5 /8 કહેશો જો હું તમને એમ પૂછું કે અસમતોલ સિક્કો મળવાની સંભાવના શું છે તો તમે 3 /8 કહેશો ત્યાર બાદ તમે તેને દશાંશમાં કે ટકાવારીમાં ફેરવી શકો હવે આપણે સમતોલ સિક્કો પસંદ કરીએ છીએ એવું આપ્યું છે તો એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના કેટલી થાય હવે આ પ્રકારની સંભાવનાને કઈ રીતે લખવામાં આવે છે તે જોઈએ હું તેને આ પ્રમાણે લખીશ આપણી પાસે સમતોલ સિક્કો છે એવું આપણને આપ્યું છે તો એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય તમે જાણો છો કે જો તે સિક્કો સમતોલ હોય તો છાપ મળવાની સંભાવના 50 ટકા થાય પરંતુ એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય અહીં આના બરાબર 50 ટકા ગુણ્યાં 50 ટકા થાય જેના બરાબર 25 ટકા થશે તો હવે તમે સમતોલ સિક્કો પસંદ કરો અને એક જ હરોળમાં બે છાપ મળે તેની સંભાવના શું થાય તમારી પાસે સમતોલ સિક્કો છે એવું આપ્યું છે તો તેની સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના 25 ટકા છે પરંતુ તમે સમતોલ સિક્કાને પસંદ કરો છો અને તે સમતોલ સિક્કા સાથે એક જ હરોળમાં બે છાપ મેળવો છો તેની સંભાવના 5 અસ્થમાઉનષ ગુણ્યાં 25 ટકા થાય માટે તે વૃક્ષની આ આખી શાખા કંઈક આ પ્રમાણે કહે છે સૌ પ્રથમ સમતોલ સિક્કો પસંદ કરવાની અને ત્યાર બાદ એક જ હરોળ 2 છાપ મળવાની સંભાવના 5 /8 ગુણ્યાં 8 થશે 5 /8 ગુણ્યાં 0 .25 થાય હું અહીં એક વાત સ્પષ્ટ કરવા મંગુ છું તમારી પાસે સમતોલ સિક્કો છે તે તમે જાણો છો અને ત્યાર બાદ એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના 25 ટકા થાય પરંતુ જો તમારે આ આખી ઘટનાઓની શ્રેણીની સંભાવના શોધવી હોય તો તમારે સમતોલ સિક્કો મળવાની સંભાવનાનો ગુણાકાર આની સાથે કરવો પડે માટે અહીં આને આ પ્રમાણે લખી શકાય સમતોલ સિક્કો મળવાની અને એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના હવે આપણે આજ સામ બાબત અસમતોલ સિક્કા સાથે પણ કરી શકીએ આપણે તેને આ પ્રમાણે લખી શકીએ સિક્કો અસમતોલ છે તે આપણને આપ્યું છે તો તેની સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય જો તમે કોઈક રીતે જાણી લો કે તમે પસંદ કરેલો સિક્કો અસમતોલ છે તો તે અસમતોલ સિક્કા સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય અસમતોલ સિક્કા સાથે એક છાપ મળવાની સંભાવના 60 ટકા છે તો અહીં આના બરાબર 0 .60 ગુણ્યાં 0 .60 થશે જેના બરાબર 0 .36 થાય એટલે કે 36 ટકા જો તમારી પાસે અસમતોલ સિક્કો છે એનું તમારે આપવામાં આવ્યું હોય તો એક જ હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના 36 ટકા થાય હવે જો તમે આ આખી ઘટનાની સંભાવના જાણવા માંગતા હોવ અસમતોલ સિક્કો મળવાની સંભાવના અને પછી તે અસમતોલ સિક્કા સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના તો તમારે આ બંનેનો ગુણાકાર કરવો પડે હું તેને આ પ્રમાણે લખીશ અસમતોલ સિક્કો મળવાની સંભાવના અને પછી તે અસમતોલ સિક્કા સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના આ બંનેનો ગુણાકાર થશે તે 3 અસ્થમાઉનષ ગુણ્યાં 0 .36 થાય 3 /8 ગુણ્યાં 0 .36 હવે આ બંનેની ગણતરી કરવા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીશું 5 /8 ગુણ્યાં 0 .25 કરીએ તો આપણને 0 /15625 મળે આના બરાબર 0 .15625 હવે તેવી જ રીતે બીજી ગણતરી કરીએ 3 /8 ગુણ્યાં 0 .36 તો તેના બરાબર 0 /135 મળે અહીં આના બરાબર 0 .135 થાય માટે જો કોઈ તમને પ્રશ્ન પૂછે કે સમતોલ સિક્કો પસંદ કરવાની અને પછી તેની સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય તો તેનો જવાબ આ થશે જો કોઈ તમને એવું પૂછે કે અસમતોલ સિક્કો પસંદ કરવાની અને તેની સાથે એક હરોળમાં બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય તો તેનો જવાબ આ સંખ્યા થશે પરંતુ જો કોઈ તમને એવું પૂછે કે કોઈ પણ રીતે બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય તો તમે કઈ રીતે ગણશો આપણને પ્રશ્નમાં પણ તે જ પૂછવામાં આવ્યું છે બે છાપ મળવાની સંભાવના શું થાય તે તમે અહીં આ રીતે મેળવી શકો અથવા આ રીતે મેળવી શકો તમે સમતોલ સિક્કો પસંદ કરીને પણ મેળવી શકો અથવા અસમતોલ સિક્કો પસંદ કરીને પણ મેળવી શકો અહીં આપણે કોઈ પણ રીતે કરી શકીએ તેથી આપણે આ બંને સંભાવનાઓનો સરવાળો કરી શકીએ આમાંની કોઇપણ ઘટના આપણી સરતોને સંતોષે છે તેથી આપણે આ બંને સંભાવનાઓનો સરવાળો કરી શકીએ તો હવે તે કરીએ 0 .135 + 0 .15625 કરીએ તો આપણને 0 .39 125 મળે આમ 0 .135 +0 .15 625 કરીએ તો આપણને 0 .39 125 મળે હવે જો તમે તેને ટાકામાં ફેરવવા માંગતા હોવ તો તમે આનો ગુણાકાર 100 સાથે કરી શકો અને પછી ટકાની નિશાની મૂકી શકો માટે તેના બરાબર 29 .125 ટકા થાય જો તમે આ ટકાવારી ને નજીકની સંખ્યામાં ફેરવવા માંગતા હોવ તો આના બરાબર લગભગ 29 .13 ટકા થાય આમ અહીં આ થવાની સંભાવના 1 /3 કરતા થોડી ઓછી છે તેનું કારણ આ પ્રમાણે થાય છે જો આ થેલીમાં બધા જ સમતોલ સિક્કા હોય તો આ બનવાની સંભવના 25 ટકા થાય આપણને આ જવાબ એટલા માટે મળે છે કારણ કે આપણી પાસે થેલીમાં કેટલાક અસમતોલ સિક્કાઓ પણ છે અસમતોલ સિક્કા મળવાની સંભાવના 3 /8 છે અને પછી તેની સાથે છાપ મળવાની સંભવના 60 ટકા છે