નિરીક્ષણ કરાયેલી આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર

ધારો કે g(x) = 1 /4 x ની 4 ઘાત ઓછા 4x નો ઘન + 24x નો વર્ગ છે x ની કઈ કિંમતો માટે g ના આલેખ પાસે ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ હશે સૌ પ્રથમ ઇન્ફ્લેક્ષણ પોઇન્ટ શું છે તે યાદ કરીએ ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ એટલે કે એવા બિંદુઓ જ્યાં વક્ર પોતાની કોનકેવીટી બદલે અથવા એવા બિંદુઓ જ્યાં વિધેયનું દ્વિતીય વીકલીત એટલે કે g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ x પોતાની નિશાની બદલે દ્વિતીય વીકલીત નિશાની બદલે માટે અહીં દ્વિતીય વીકલીતનો અભ્યાસ કરીએ દ્વિતીય વીકલીતનો અભ્યાસ કરવા સૌ પ્રથમ સ્વીતીય વીકલીત શોધીએ માટે g(x) = 1 /4 x ની 4 ઘાત ઓછા 4x નો ઘન + 24x નો વર્ગ હવે x ની સાપેક્ષે તેનું વીકલીત લઈએ તેથી g પ્રાઈમ ઓફ x બરાબર આપણે અહીં ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ અહીં આ ઘાતાંકને આગળ લાવીએ 4 /4 1 થશે અને પછી આના ઘાતાંક માંથી 1 નો ઘટાડો કરતા આપણને x નો ઘન મળે ઓછા 3 ને આગળ લાવીએ 4 ગુણ્યાં 3 12 x ની 3 - 1 એટલે કે બે ઘાત + 2 ને આગળ લાવતા 24 ગુણ્યાં 2 48 ગુણ્યાં x ની 2 - 1 એટલે કે x ની 1 ઘાત જેને આપણે x જ રાખીએ હવે આપણે આ પ્રથમ વીકલીતનું ફરીથી વીકલીત લઈએ x ની સાપેક્ષે તેનો ફરી વીકલીત લઈએ ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ તેથી 3x નો વર્ગ ઓછા 2 ગુણ્યાં 12 24x + 48 અને હવે જોઈએ કે તે પોતાની નિશાની ક્યારે બદલે છે અહીં આ સતત વિધેય છે તે x ની બધી જ કિંમતો માટે સાચું છે અહીં આ સતત વિધેય છે તે x ની બધી જ કિંમતો માટે વ્યખ્યાયિત થશે હવે જયારે આ બાબત 0 હોય ત્યારે તે કદાચ પોતાની નિશાની બદલી શકે તેથી તે 0 ક્યારે થાય છે તે જોઈએ તેના બરાબર 0 લઈએ 3x નો વર્ગ ઓછા 24x + 48 = 0 હવે અહીં દરેક પદો 3 વડે વિભાજ્ય છે તેથી બંને બાજુ 3 વડે ભાગીએ માટે x નો વર્ગ -8x + 16 = 0 શું તેના અવયવ પડી શકાય હા x - 4 ગુણ્યાં x - 4 થશે અથવા x - 4 આંખનો વર્ગ = 0 માટે x = 4 = 0 તેથી x = 4 આમ g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ 4 બરાબર 0 થશે હવે તેની બીજી બાજુએ શું થાય છે તે જોઈએ તે પોતાની નિશાની બદલે છે કે નહિ તે જોઈએ તેના માટે આપણે અહીં સંખ્યા દોરીશું આ મારી સંખ્યા રેખા છે આ પ્રમાણે 2 ,3 ,4 ,5 ,6 આપણે આ પ્રમાણે આગળ જય શકીએ પરંતુ અહીં 4 આગળ કંઈક રસપ્રત થાય છે તેની આગળ g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ 4 = 0 છે હવે જયારે આપણે 4કરતા ઓછી કિંમત લઈએ ત્યારે દ્વિતીય વીકલીત શું થાય તે જોઈએ g પાઇમ પ્રાઈમ ઓફ 0 ને ઉકેલીએ કારણ કે તેને ઉકેલવું ઘણું સરળ છે x ની જગ્યાએ 0 લઈએ તો આપણને ફક્ત 48 મળે માટે જયારે આપણે x કરતા નાની કિંમતો લઈએ ત્યારે દ્વિતીય વીકલીત g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ x ગ્રેટર ધેન 0 થશે તેથી જયારે આપણે 4 ની ડાબી બાજુની કિંમત લઈએ અહીં આ અંતરાલ પર આપણને ઉપરની તરફ ખૂલતો પરવાલાય મળે તેથી આપણે હવે 4 ની જમણી બાજુની કિંમતો લઈએ કોઈક એવી સંખ્યા લઈએ જેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય આપણે g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ 10 લઈએ g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ 10 લઈએ 3 ગુણ્યાં 10 નો વર્ગ જે 300 થશે ઓછા 24 ગુણ્યાં 10 240 + 48 300 માંથી 240 જાય તો 60 રેય અને 60 + 48 108 થાય આપણને હજુ પણ તેની કિંમત ધન જ મળે છે 4 ની કોઈ પણ બાજુ લઈએ આપણને g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ x ગ્રેટર ધેન 0 જ મળે x = 4 આગળ g પ્રાઈમ પ્રાઈમ ઓફ 4 0 છે તેમ છતાં આપણને 4 ની બંને બાજુએ ઉપરની તરફ ખૂલતો પરવાલાય મળે છે તેની બંને બાજુ દ્વિતીય વીકલીત ધન છે તેથી ત્યાં x ની કોઈ કિંમત નથી જેના માટે g ના આલેખ પાસે ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ હોય જો અહીં દ્વિતીય વીકલીત પોતાની નિશાની બદલતે જો તે ધનથી ઋણ અથવા ઋણથી ધન થશે તો x = 4 એ ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ બની શકતે પરંતુ તે અહીં ધનથી ધન જ રહે છે અહીં દ્વિતીય વીકલીત ધન જ રહે છે તે અહીં 0 ને સ્પર્શે છે પરંતુ ફરીથી ધન રહે છે ફરીથી પ્રશ્ન તરફ જઈએ x ની કઈ કિંમતો માટે g ના આલેખ પાસે ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટ હશે x ની કોઈ કિંમત નથી x ની કોઈ કિંમત પાસે નહિ.