તરંગનું સમીકરણ

હું તમને તરંગ નું સમીકરણ એટલે કે વેવ ઈક્વેશન બતાવા માંગુ છું અને તેનો ઉપયોગ કઈ રીતે કરી શકાય તે સમજાવવા માંગુ છું પરંતુ આપણે તે કરીએ પહેલા તરંગનું સમીકરણ હોવાનો અર્થ શું થાય તે જોઈએ તેનો અર્થ કંઈક આ પ્રમાણે થાય ધારોકે તમારી પાસે પાણીના તરંગો છે જે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય છે આપણે અહીં સ્થાન ના વિધેય તરીકે પાણીના તરંગ ની શિરોલંબ ઉંચાઈ દર્શાવી છે ધારો કે તમે દરિયા કિનારે ચાલી રહ્યા છો અને પાણીના તરંગ ને કિનારા તરફ આવતું જોવો છો આ પાણીનું તરંગ દરિયા કિનારા તરફ ગતિ કરે છે મહાસાગર માં પાણીના તરંગો ખરેખર આ પ્રમાણે દેખાતા નથી પરંતુ આ સૌથી સરળ ગાણિતિક રીત છે જે તમે દર્શાવી શકો આપણે એક સરળ તરંગ થી શરૂઆત કરીએ આ તમારું તરંગ છે અને તમે દરિયા કિનારે ચાલી રહ્યા છો તમે કોઈક એક બિંદુ આગળ ઉભા છો ધારો કે તમે અહીં આ બિંદુ આગળ ઉભા છો તો તમે જોશો કે આ તરંગ ની ઉંચાઈ ઘણી વધારે છે તમારી જમણી બાજુએ 1 મીટર આગળ પાણી નું સ્તર 0 છે તમારા સ્થાન થી 2 મીટર જમણી બાજુ પાણીની ઉંચાઈ -3 મીટર છે તો તેનો અર્થ શું થાય તેનો અર્થ એ થાય કે જો દરિયા માં કોઈ તરંગ ન હોય તો તમને આ દરિયો કે સરોવર સપાટ દેખાશે પરંતુ જો ત્યાં તરંગ હોય તો પાણીનું સ્તર આ સ્થાન થી ઉંચુ હોઈ શકે અથવા આ સ્થાનથી નીચું પણ હોઈ શકે આપણે આ પાણીના સ્તર ને 0 સ્થાન કહીશું સામાન્ય રીતે જયારે કોઈ તરંગ ન હોય ત્યારે પાણી આ સપાટીએ હોય છે તો તમે આ બાબત નું આલેખ દોરો છો અને તમને આ પ્રકારનો આલેખ મળે છે અને આ ફક્ત સ્નેપશોટ છે શિરોલંબ ઉંચાઈ વિરુદ્ધ સમક્ષિતિજ સ્થાન નો આલેખ માત્ર એક ચિત્ર છે જો તમે તેને આ પ્રમાણે પાણી થી ભરીદો તો પણ એક ક્ષણે પાણીનું તરંગ આ પ્રમાણે દેખાશે અને પછી આ તરંગ દરિયા કિનારા તરફ ગતિ કરે છે માટે જો તમારી પાસે શિરોલંબ ઉંચાઈ વિરુદ્ધ સમક્ષિતિજ સ્થાનનો આલેખ હોય તો તે ફક્ત પિચર અથવા સ્નેપશોટ છે અને સમયની ચોક્કસ એક ક્ષણ આગળ આ બધા જ સમક્ષિતિજ સ્થાન દર્શાવ્યા છે તો હવે આપણું સમીકરણ કેવું હોવું જોઈએ તરંગ ને શિરોલંબ ઉંચાઈ એક સમક્ષિતિજ સ્થાન ના વિધેય તરીકે હોવું જોઈએ અહીં શિરોલંબ ઉંચાઈ એક સમક્ષિતિજ સ્થાન ના સમક્ષિતિજ સ્થાન ના વિધેય તરીકે હોવું જોઈએ અહીં આ ગુણાકાર માં નથી પરંતુ તે વિધેય છે હું અહીં X ને સ્થાને કોઈ પણ સ્થાન મૂકી શકું જો આપણે X બરાબર 0 લઈએ તો અહીં તેની ઉંચાઈ 3 મીટર આવશે માટે સમીકરણ એવું હોવું જોઈએ કે જયારે હું X બરાબર 0 મુકું ત્યારે તે મને 3 મીટર આપે જયારે હું X બરાબર 1 મીટર મુકું ત્યારે મને તેની ઉંચાઈ 0 મળવી જોઈએ અહીં Y ની કિંમત 0 મળવી જોઈએ અને જયારે હું X બરાબર 6 મીટર મુકું ત્યારે મને Y ની કિંમત -3 મીટર મળવી જોઈએ હું અહીં X ની કોઈ પણ કિંમત મુકું પરંતુ મને તે સમક્ષિતિજ સ્થાન આગળ તે શિરોલંબ તરંગ ની ઉંચાઈ શું હશે તે જણાવતું સમીકરણ મળવું જોઈએ તો આ સમીકરણ કેવું દેખાવું જોઈએ આપણે તે શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ X ના વિધેય તરીકે Y બરાબર 3 મીટર કે -3 મીટર કરતા વધારે ન હોવું જોઈએ અને તેને આપણે કંપ વિસ્તાર કહીશું જો આપણે આ અંતર ને A કહીએ કંપ વિસ્તાર કહીએ તો તે A કરતા વધારે ન હોવું જોઈએ અને આ ઉધારણ માં કંપ વિસ્તાર 3 થશે પરંતુ હું અહીં A લખીશ કારણકે તમે આ સમીકરણ કોઈ પણ તરંગ ને લાગુ પાડી શકો હવે તમે આ તરંગ ના આકાર ને જુઓ તે સાઈન અથવા કોસાઈન નો આલેખ હોય એવું લાગે છે પરંતુ આ તે બને માંથી કયો હશે જો આપણે X બરાબર 0 આગળ જોઈએ તો આપણને મહત્તમ કિંમત મળે છે માટે તે કોસાઈન નો આલેખ હોવો જોઈએ કારણકે કોસાઈન ઑફ 0 મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે માટે હું અહીં કોસાઈન લખીશ કોસાઈન ઑફ અહીં કૌંશ માં કંઈક આવશે હવે તમે કદાચ અહીં કૌશ માં X લખવા માંગો પરંતુ તે કામ કરશે નહિ જો હું અહીં X લખૂ તો કોસાઈન ઑફ X દર વખતે X બરાબર 2 પાઇ પછી રીસેટ થશે તેનો અર્થ થાય કે કૌશ ની અંદર રહેલા પદ જયારે 2 પાઇ બરાબર થશે ત્યારે આ કોસાઈન ફરીથી શરૂ થાય હવે જો તમે અહીં જુઓ તો આ કોસાઈન 4 મીટર પછી પુનરાવર્તિત થાય છે હવે કોઈક તરંગ 8 મીટર પછી પણ પુનરાવર્તિત થઇ શકે અથવા કોઈક તરંગ અમુક અંતર પછી પણ પુનરાવર્તિત થઇ શકે માટે આ તરંગ ને પુનરાવર્તિત કરાવવા તમે X દિશામાં કેટલી મુસાફરી કરો છો ત્યારે અહીં દર્શાવવા ની જરૂર છે માટે અહીં એકલો X કામ કરશે નહિ કારણકે X બરાબર 2 પાઇ થાય ત્યારે કોસાઈન ફરીથી પુનરાવર્તિત થાય છે તો હું અહીં શું કરી શકું આપણે તે જ બાબત કરી શકીએ જે આપણે સરળ આવર્ત દોલક માટે કરી હતી માટે હું અહીં 2 પાઇ લખીશ અને આ વખતે તેને આવર્તકાળ સાથે ભાગીશ નહિ કારણકે આ સમયનું વિધેય નથી તે અહીં X છે માટે છેદમાં આવર્તકાળ આવશે નહિ કોસાઈન નો આલેખ પુનરાવર્તિત થવા કેટલો સમય લે છે તે આવશે નહિ પરંતુ પુનરાવર્તિત થવા તે કેટલું અંતર લેશે તે આવશે બીજા શબ્દો માં આપણે તેને તરંગ લંબાઈ એટલે કે વિવલેંગથ કહીએ છીએ 2 શૃંગ વચ્ચેના અંતરને આપણે તરંગ લંબાઈ કહીએ છીએ અને તેને ગ્રીક શબ્દ લેમડા વડે દર્શાવીએ છીએ આમ અવકાશ માં પુનરાવર્તિત થવા તે જેટલું અંતર લે છે તે તરંગ લંબાઈ થશે માટે આપણે તેનો ભાગાકાર તરંગ લંબાઈ વડે કરીશું કારણકે તેની પાસેનો એકમ મીટર હોવો જોઈએ હવે આપણે તેનો ગુણાકાર X સાથે કરીશું હવે જો હું X બરાબર 0 થી શરૂઆત કરું તો કોસાઈન ઑફ 0 મને મહત્તમ કિંમત આપશે જે 3 મીટર છે હવે જો હું એમ કહું કે X એ એક તરંગ લંબાઈ જેટલું છે તો આ ઉધારણ માં તે 4 મીટર થશે આમ 4 મીટર અથવા એક તરંગ લંબાઈ આમ જો હું X ને તરંગ લંબાઈ ના સંધરબ માં મુકું તો આ તરંગ લંબાઈ અને આ તરંગ લંબાઈ કેન્સલ થઇ જશે અને આપણને અહીં 2 પાઇ મળશે માટે કોસાઈન પુનરાવર્તિત થાય જયારે કૌશની અંદરનો જવાબ આપણને 2 પાઇ મળે ત્યારે કોસાઈનનું પુનરાવર્તન થાય છે અને આ તરંગ માટે પણ આવુ જ થાય છે આ તરંગ દરેક એક તરંગ લંબાઈ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે તમે એક તરંગ લંબાઈ પૂર્ણ કરો તો તેનું પુનરાવર્તન થાય છે તમે બીજી તરંગ લંબાઈ પૂર્ણ કરો તો તેનું ફરીથી પુનરાવર્તન થાય છે અને અહીં તે જ પ્રમાણે થાય છે હવે આપણે આ તરંગ સમીકરણ ને આ ચોક્કસ પ્રકારના તરંગ પર કઈ રીતે લાગુ પાડી શકીએ તેની પાસે કોસાઈન પહેલે થી જ છે જો તમારું તરંગ અહીંથી શરૂ તથુ હોય અને પછી તે આ પ્રમાણે ઉપર જતું હોય તો તમે સાઈનનો ઉપયોગ પણ કરી શકો પરંતુ આપણા તરંગ ની શરૂઆત મહત્તમ થી થાય છે તેથી આપણે કોસાઈન નો ઉપયોગ કરીશું હવે અહીં આપણો કંપ વિસ્તાર A એ નથી પરંતુ આપણો કંપ વિસ્તાર 3 મીટર છે કારણકે અહીં [પાણી નું સ્તર આ સંતુલી સ્થાનથી 3 મીટર જેટલું ઉંચુ જાય છે માટે આપણો કંપ વિસ્તાર 3 મીટર છે આપણે અહીં કોસાઈન 2 પાઇ પણ એમ જ આવશે પરંતુ આપણે તરંગ લંબાઈ ને લેમડા લઈશું નહિ અહીં આપણી તરંગ લંબાઈ લેમડા નથી આપણે અહીં સામાન્ય સમીકરણમાં તેને લખ્યું હતું તે2 શૃંગ વચ્ચેનું અંતર છે જે 4 મીટર થશે અથવા તમે તેને 2 ગર્ત વચ્ચેનું અંતર પણ કહીં શકો અને તે પણ 4 મીટર થાય તમે તરંગ લંબાઈને કઈ રીતે માપો છો એ મહત્વનું નથી પરંતુ આ ઉધારણ માં તરંગ લંબાઈ એ 4 મીટર થાય હવે હું X ની જગ્યાએ શું મુકીશ મારે ખરેખર તેની જગ્યાએ કઈ મુકવાની જરૂર નથી કારણકે મને વિધેય જોઈએ છે અહીં આ X નું વિધેય છે આપણે અહીં X નું જુદી જુદી કિંમતો મૂકી શકીએ જોઈએ કે વિધેય કામ કરી શકે કે નહિ આપણે તેને X જ રહેવા દઈએ અને તે કોઈ પણ X આગળ આપણને તરંગ ની ઉંચાઈ આપશે પરંતુયુ તે ખરેખર કામ કરે છે કે નહિ તે ચકાસીએ પરંતુ અહીં આપણને X ની જગ્યાએ 0 લઈએ આપણે અહીં X બરાબર 0 લઈએ તો આ વિધેય આપણને શું જણાવે અહીં કૌશમાં 0 આવશે અને કોસાઈન ઓફ 0 બરાબર 1 થાય અને અહીં આ કંપ વિસ્તાર 3 મીટર છે તેથી આપણને આનો જવાબ 3 મીટર મળે અને આ સાચું છે X બરાબર 0 આગળ તરંગ ની ઉંચાઈ 3 મીટર છે બીજી એક કિંમત લઈને પ્રયત્ન કરીએ આપણે સમક્ષિતિજ સ્થાન તરીકે 2 મીટર લઈએ X ની જગ્યાએ 2 મીટર લખીએ અહીં 2 મીટર અને અહીં પણ 2 મીટર માટે આના બરાબર 3 મીટર ગુણ્યાં કોસાઈન ઑફ 2 ગુણ્યાં 2 4 થશે ભાગ્યા 4 1 થાય તેથી આપણને કોસાઈન ઑફ પાઇ મળે કોસાઈન ઑફ પાઇ બરાબર -1 માટે આના બરાબર -3 મીટર મળશે અને તે સાચું છે 2 મીટર આગળ આ તરંગ ની ઉંચાઈ -3 મીટર છે આમ આ સમીકરણ કોઈ પણ સમક્ષિતિજ સ્થાન X આગળ આપણને તરંગની ઉંચાઈ આપી છે હવે તમે કદાચ કહેશો કે આ ફક્ત સમયની એક જ ક્ષણ માટે છે પરંતુ આ આખું તરંગ દરિયા કિનારા તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે પરંતુ આ સમીકરણ તમને X ની કોઈ પણ કિંમત આગળ આ તરંગ નો આકાર કેવો હશે એ પણ જણાવી શકે ધારો કે હવે તમારું તરંગ ગતિ કરી રહ્યું છે અને X બરાબર 2 મીટર આગળ -3 મીટર નથી મળતું તેવી જ રીતે તે X બરાબર 0 આગળ એન ઉંચાઈ 3 મીટર નથી તે ફક્ત અહીં સુધી છે તો આપણે અહીં શું કરી શકીએ જમણી બાજુ શોધી કાઢતા તરંગ ને આપણે એક જ સમીકરણ માં કઈ રીતે દર્શાવી શકીએ તમે જેટલું વિચારો છો એટલું આ અશક્ય નથી તેના માટે આપણે સૌ પ્રથમ આ દૂર કરીએ અહીંથી આ દૂર કરીએ આપણે અહીં નવું વિધેય બનાવીએ હવે આપણને તરંગ સમીકરણ ફક્ત X ના વિધેય તરંગ તરીકે નહિ પરંતુ સમયના વિધેય તરીકે પણ જોઈએ માટે મને અહીં ફક્ત X નહિ પરંતુ X અને T બને જોઈએ જેથી કોઈ પણ સમયે કોઈ પણ સ્થાન આગળ મને આ સમીકરણ તરંગ ની ઉંચાઈ આપી શકે તો હવે હું આ સમીકરણ ને સમય આધારિત કઈ રીતે કરી શકુ છું તો હું અહીં ફેસ કોન્સ્ટન્ટ એટલે કે કળા અચળાંક ને ઉમેરું તો જો તમે અહીં કોઈ પણ અચળ ને ઉંમેરો તો તમારા તરંગ ને ડાબી બાજુ ખસેડે પરંતુ આપણે અહીં આપણા તરંગ ને જમણી બાજુએ ખસેડવા માંગીએ છીએ તેથી આપણે અહીં ઉમેરવાની જગ્યાએ કળા અચળાંક ને બાદ કરીશું આપણે તેને બાદ કરીએ હવે તે આપણને જમણી બાજુએ ગતિ કરતું મળશે પરંતુ આપણને અહીં ફક્ત અચળાંક જોઈતો નથી જો તમે દરિયા કિનારા ના તરંગો ને જોશો તો તે ફક્ત જમણી બાજુએ ગતિ ને અટકી જતા નથી પરંતુ તેઓ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે માટે આપણને અહીં એવો અચળાંક જોઈએ જે તેની ગતિને ચાલુ રાખીએ તો તમેં અહીં કદાચ કહી શકો કે શું આપણે આ કળા અચળાંક ને સમય આધારિત ધારી શકીએ જેમ જેમ સમયમાં વધારો થશે તેમ તેમ આ તરંગો આ જમણી બાજુએ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે જેમ જેમ સમય વધે તેમ તેમ જો અહીં આ પદ પણ વધે તો તમારું તરંગ જમણી બાજુ એ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે અને તમને એવું સમીકરણ મળશે જે ગતિ કરતા તરંગ ને દર્શાવી શકે તો મારે અહીં શું મૂકવું જોઈએ હવે તમને કદાચ તે જટિલ લાગી શકે પરંતુ આ એટલું પણ જટિલ નથી જેવી રીતે તરંગ લંબાઈ એ તેને પુનરાવર્તિત થવા માટે લાગતું અંદાજ છે તેવી જ રીતે આપણી પાસે આવર્તકાળ નામનો શબ્દ છે આપણે તેને કેપિટલ T વડે દર્શાવીએ જેને આપણે આવર્તકાળ એટલે કે પિરિયડ કહીએ છીએ તરંગ ને પુનરાવર્તિત થવા માટે લાગતું સમય તેથી હું અહીં 1 આવર્તકાળ જેટલા સમયની રાહ જોવું તો તમને સમાન તરંગ પાછું મળે જો તમે દરિયા કિનારે ઉભા હોવ તમે તમારી આંખ એક આવર્તકાળ માટે બંધ કરો અને ફરીથી તમારી આંખ ખોલો તો તમને તે જ સમાન બાબત જોવા મળશે આપણે તે જ સમાન બાબત અહીં પણ કરીશું આપણે ફક્ત એક તરંગ લંબાઈ પછી આ બાબત નું પુનરાવર્તન નથી ઇચ્છતા પરંતુ આપણને આ બાબત નું પુનરાવર્તન એ 1 આવર્તકાળ પછી પણ જોઈએ છીએ તો આપણે તેને અહીં કઈ રીતે દર્શાવી શકીએ હું અહીં ફક્ત સમય લખીશ નહિ હું અહીં 2 પાઈના છેદમાં આવર્તકાળ લખીશ અને પછી તેનું ગુણાકાર સમય સાથે કરીશ કારણકે જે રીતે X એક તરંગ લંબાઈ ને જો તમે દરિયા કિનારા પર એક તરંગ લંબાઈ જેટલું ચાલો તો તમને તરંગ ની ઉંચાઈ સમાન જ મળે કારણકે અહીં આ 2 પાઇ બને છે તેવી જ રીતે તે તમે 1 આવર્તકાળ જેટલી રાહ જુઓ તો અહીં આ પણ 2 પાઇ બનશે અને આ આખી બાબતનું પુનરાવર્તન થશે આમ આ તરંગ નું સમીકરણ છે આપણે તેને થોડું વધારે સામાન્ય બનાવીએ અહીં આપણે આ કોસાઈન ની જગ્યાએ સાઈન હોઈ શકે જો તમારા તરંગ ની શરૂઆત 0 તી તથી હોય તો તમે અહીં સાઈન નો ઉપયોગ કરી શકો અહીં ઋણ ની નિશાની નો અર્થ એ છે કે આ તરંગ જો ખસી રહ્યું છે જો તમે અહીં વતા ની નિશાની નો ઉપયોગ કરો તો તેનો અર્થ એ થાય કે આ તરંગ ડાબી બાજુ ખસે તમે આ સમીકરણ ને વધુ સામાન્ય બનાવી શકો તમે અહીં તેની જમણી બાજુ કળા અચળાંક ઉમેરી શકો જયારે કળા અચળાંક ઊમેરવામાં આવે ત્યારે તમે એવી પરીસ્તીથી પણ લઇ શકો જેમાં આ આલેખની શરૂઆત સાઈન કે કોસાઈન વિધેય થી ન તથી હોય પરંતુ આ ઉધારણ માં મારી ચિંતા કરવાની જરૂર નથી કારણકે આપણો આલેખ મહત્તમ ઉંચાઈ થી શરૂ થાય છે માટે અહીં કોઈક કળા અચળાંક આવશે નહિ આમ અહીં આ તમારું તરંગ સમીકરણ છે જે X અને T નું વિધેય છે જે કોઈ પણ સમીકરણ ની T આગળ કોઈ પણ સમક્ષિતિજ સ્થાન X આગળ તમને તરંગ ની ઉંચાઈ આપશે તો આપણે હવે આ સમીકરણ ને આ ઉધારણ પર લાગુ પાડી શકીએ અહીં આ સમીકરણ એ ફક્ત એક ક્ષણ આગળનું સમીકરણ છે ધારો કે આપણે આ પાણીના તરંગો નું ચિત્ર T બરાબર 0 સેકન્ડ આગળ લીધું છે અને આ સમીકરણ દર્શાવશે કે તે ક્ષણ આગળ તરંગ કેવું દેખાય છે પરંતુ હવે આપણે વધુ યોગ્ય સમીકરણ નો ઉપયોગ કરીએ હવે આપણે કોઈ પણ સ્થાન આગળ અને કોઈ પણ સમય આગળ તરંગ ની ઉંચાઈ શું મળે તે જોઈએ અહીં કંપ વિસ્તાર શું થશે કંપ વિસ્તાર હજુ પણ 3 મીટર થશે આપણું તરંગ 3 મીટર થી ઉંચુ જતું નથી કે તે 3 મીટર થી નીચે પણ જતું નથી આપણે હજુ પણ કોસાઈનનો જ ઉપયોગ કરીશું હવે તે X બરાબર 0 અને T બરાબર 0 આગળથી શરૂ થાય છે હવે અહીં તરંગ લંબાઈ કેટલી આવશે તરંગ લંબાઈ હજુ પણ 4 મીટર આવે તમારે તરંગ નું પુનરાવર્તન જોવા 4 મીટર જેટલું ચાલવું પડે તેનો અર્થ એ થાય કે જો તમે 0 મીટર આગળ ઉભા હોવ અને તમારો મિત્ર 4 મીટર આગળ ઉભો હોય તો તમને બનેને તરંગ ની ઉંચાઈ સમાન જોવા મળે કારણકે તરંગ નું 4 મીટર પછી પુનરાવર્તન થાય છે હવે અહીં વતા આવશે કે ઓછા અહીં તરંગ જમણી બાજુ ખસે છે માટે આપણે ઓછા ની નિશાની નો લઈશું તેમ જ અહીં આ કળા અચળાંક પણ આવશે નહિ કારણકે આપણું તરંગ કોસાઈન ની જેમ જ શરૂ થાય છે હવે ફક્ત એક પ્રશ્ન એ છે કે હું અહીં આવર્તકાળ ની જગ્યાએ શું મૂકી શકું માટે મને અહીં હજુ એક માહિતી જોઈએ જો તેઓએ આવર્તકાળ આપ્યો હોય તો તે બરાબર છે પરંતુ અમુક વખત પ્રશ્ન ટ્રિકી પણ હોય શકે કોઈક વાર તેઓ એવું પણ કહી શકે કે આ તરંગ 0.5 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ થી જમણી બાજુ ગતિ કરી રહ્યું છે અહીં આ તરંગ ની ઝડપ છે અને તમને એમ પુછવા માં આવ્યું હોય કે સ્થાન અને સમય ના વિધેય તરીકે તરંગ સમીકરણ બનાવો તમે આ બધું જ કરો પરંતુ તમે અહીં આવર્તકાળની જગ્યાએ શું લેશો તેના માટે તમારે એ યાદ રાખવાની જરૂર છે કે તરંગની ઝડપ બરાબર તરંગ લંબાઈ ગુણ્યાં આવૃત્તિ અથવા તરંગ લંબાઈ ભાગ્યા આવર્તકાળ તો આપણે અહીં આવર્તકાળ માટે શોધીએ અને આવર્તકાળ બરાબર લંબાઈ ભાગ્યા વેગ તમે અહીં આલેખ પરથી તરંગ લંબાઈ શોધી શકો અને તે 4 મીટર છે 4 મીટર ભાગ્યા તમને અહીં તરંગ ની ઝડપ આપી છે 0.5 મીટર પ્રતિસેકન્ડ તેથી આવર્તકાળ બરાબર 8 સેકન્ડ મળે તો તમે અહીં આવર્તકાળની જગ્યાએ 8 સેકન્ડ લખો 8 સેકન્ડ મુકો અને આ તમારા તરંગ નું સમીકરણ થશે માટે અહીં આ સમીકરણ કોઈ પણ સ્થાન X આગળ અને કોઈ પણ સમય T આગળ આ તરંગની ઉંચાઈ આપી છે જો હું અહીં X બરાબર 3 મીટર લઉ અને T બરાબર 5.2 સેકન્ડ લઉં તો મને આ સમીકરણ 3 મીટર અને 5.2 સેકન્ડ આગળ આ તરંગ ની ઉંચાઈ શું હશે તે આપશે પુનરાવર્તન કરીએ તો અહીં આ તરંગ નું સમીકરણ છે તે કોઈ પણ X આગળ અને કોઈ પણ T આગળ તરંગ ની ઉંચાઈ આપે છે જો તરંગ જમણી બાજુ ખસી રહ્યું હોય તો તમે માઇનસ ની નિશાનીનો ઉપયોગ કરો અને જો તરંગ ડાબી બાજુ ખસી રહ્યું હોય તો તમે પલ્સ ની નિશાનીનો ઉપયોગ કરો