પ્રવેગ vs. સમય આલેખ શું છે?

$t=4\text{ s}$‍ આગળ પ્રવેગ $+1{\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ છે. આપણે ટપકાને સમક્ષિતિજ ખસેડીને અને સમય $t=4\text{ s}$‍ આગળ શિરોલંબ અક્ષની કિંમત $+1{\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ છે તે જોઈને આ ચકાસી શકીએ.

$t=6\text{ s}$‍ આગળ જર્ક ઋણ છે કારણકે ઢાળ ઋણ છે. આપણે $t=6\text{ s}$‍ સુધી ટપકાંને ખસેડીને અને ઢાળ નીચેની તરફ છે તેનું નિરીક્ષણ કરીને આ જોઈ શકીએ.

સારો પ્રશ્ન. આપણે સાબિત કર્યું છે કે અચળ પ્રવેગની પરિસ્થિતિમાં સમયના ચોક્કસ આપેલા અંતરાલ માટે પ્રવેગના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમયના તે અંતરાલમાં વેગમાં થતો ફેરફાર આપે, પણ જો પ્રવેગ અચળ ન હોય તો પણ, પ્રવેગના કોઈ પણ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ વેગમાં થતો ફેરફાર આપશે.

એનું કારણ એ છે કે, નીચે આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ, પ્રવેગના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ જે બદલાય છે તેને ખુબ જ ઓછી પહોળાઈ ધરાવતા નાના લંબચોરસમાં વિભાજીત કરી શકાય. જો લંબચોરસની પહોળાઈ પૂરતી નાની હોય, તો પ્રવેગ લગભગ અચળ રહેશે. સમયના દરેક નાના અંતરાલ દરમિયાન, ઊંચાઈને પહોળાઈ સાથે ગુણતા તે ક્ષેત્રફળ અને વેગમાં થતો ફેરફાર, $\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$‍ આપે. લંબચોરસના ક્ષેત્રફ્ળનો સરવાળો કરતા તે લગભગ આપેલા સમય અંતરાલ માટે વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ અને વેગમાં થતો કુલ ફેરફાર આપે.

જો લંબચોરસની પહોળાઈ અનંત રીતે નાની લેવામાં આવે, તો બધા જ ક્ષેત્રફ્ળનો સરવાળો વક્રની નીચેનું ચોક્કસ ક્ષેત્રફળ અને વેગમાં થતો ફેરફાર આપે. તેથી પ્રવેગના કોઈ પણ આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ વેગમાં થતો ફેરફાર આપે. જો આ ચર્ચા તમને ગણિતની જેમ લાગતી હોય તો તે કદાચ હોઈ શકે કારણકે આ સાબિતીની ચોક્કસ તારવણીમાં કલનશાસ્ત્રની જરૂર પડે—કલનશાસ્ત્રમાં સંકલિત એક ક્રિયા છે જે તમને વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ શોધવામાં મદદ કરે.

નોંધ: જયારે પ્રશ્નને ઉકેલતા હોવ અથવા સવાલનો જવાબ આપતા હોવ, ત્યારે ક્ષેત્રફળ શોધતી વખતે વક્રને લંબચોરસમાં વિભાજીત કરવાની ખરેખર જરૂર નથી. આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર વેગમાં થતો ફેરફાર, તેથી આપણે જે રીત અનુકૂળ હોય તે રીતે વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ। બીજા શબ્દોમાં, ઉપર બતાવેલા આલેખ માટે, આપણે ક્ષેત્રફળ અને વેગમાં થતો ફેરફાર શોધવા, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્ર, ${\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ નો ઉપયોગ કરી શકીએ.