If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :8:56

પાયથાગોરસના પ્રમેયની ગારફિલ્ડની સાબિતી

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આ વિડિઓ માં આપણે જેમ્સ ગરફેલ્ડ ઘ્વારા 1876 માં આપવા માં આવેલા પાયથાગોરસ ના પ્રમેય વિષે સમજીશુ તે જેમ્સ ગરફેલ્ડ એ ગણિત શાસ્ત્રી ન હતા જેમ્સ ગરફેલ્ડ એ u s a ના 20 માં પ્રમુખ એટલે કે પ્રેસિડન્ટ હતા અબ્રાહમ લિંકન ની જેમ જેમ્સ ગાર્ફીલ્ડ ને પણ ભૂમિતિ માં ખુબજ રસ હતો હવે આપણે ગાર્ફીલ્ડ ઘ્વારા આપવા માં આવેલા પાયથાગર્સ ના સિદ્ધાંત વિષે સમજીએ અહીં સમજો કે આ બાજુ ની લંબાઈ ધારોકે b છે તેજ પ્રમાણે આ બીજી બાજુ ની લંબાઈ ધારોકે a છે અને આ બાજુની લંબાઈ ધારોકે c છે અહીં આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને આ કાટખૂણો છે હવે આપણે આ મૂળ ત્રિકોણ ને ફેરવી ને અહીં ઉપ્પર એક બીજું ત્રિકોણ બનાવીએ તો અહીં આ બાજુની લંબાઈ b છે જે a ને સામરિક થશે તેજ પ્રમાણે આ બાજુ ની લંબાઈ a છે જે b અને a વચ્ચે બનતો આ કાટખૂણો છે અને આ બાજુની લંબાઈ c છે હવે આપણે વિચારવાનું છે કે આ 2 બાજુઓ બાજુ a અને બાજુ c વચ્ચે બનતા આ ખૂણા નું માપ શુ થશે આપણે આ મૂળ ત્રિકોણ ને જોઈએ તો આપણે ધારોકે આ ખૂણા ને થિટા કહીશુ તો વિચારો કે આ ખૂણા નું માપ શુ થશે જે a અને c વચ્ચે બનતો ખૂણો છે અહીં આ ખૂણો કાટખૂણો છે આ ખૂણો થિટા જેટલો છે માટે આ ખૂણો 90 ઔંશ ના પદમાં આવશે હવે આ ખૂણો કાટખૂણો છે માટે તે 90 ઔંશ નો છે આ બંને ખૂણાઓ ના માપ નો સરવાળો 90 ઔંશ થવો જોઈએ અને આ ત્રોને નો સરવાળો 180 ઔંશ થવો જોઈએ તો આપણે આ ખૂણા ને 90 90 ઓછા થિટા વડે દર્શાવીએ આ ફક્ત ઉપરનોજ ત્રિકોણ હોવાથી આ ખૂણા ને અનુરૂપ ખૂણો આ થશે જે થી આ ખૂણા નું માપ થિટા થશે તેજ પ્રમાણે અહીં આ ખૂણો કાટખૂણો છે અને અઇયા પણ આ ખૂણો કાટખૂણો છે માટે આખુંય નો અનુરૂપ ખૂણો આ થશે તેથી 1 તે ખૂણા નું માપ પણ થશે 90 ઓછા થિટા હવે આપણે આ ખૂણો કેટલા ઔંશ નો હશે તે શોધવાનું છે એટલે કે આ ખૂણા નું માપ શોધવાનું છે હવે અહીં જુઓ કે અહીં આ ત્રોને ખૂણા ઘ્વારા રેખિત જોડ નો ખૂણો બને છે માટે આ ત્રોને ખૂણાઓ નો સરવાળો 180 ઔંશ થવો જોઈએ તેને આપણે આ રીતે લખી શકીએ છીએ થિટા આ ખૂણો વત્તા આ ખૂણો 90 ઓછા થિટા વત્તા આ ખૂણો પ્રશ્નચિહ્ન બરાબર 180 ઔંશ થિટા થિટા દૂર થઈ જશે અને 90 ઔંશ ને આપણે બંને બાજુએ થી બાદ કરતા આપણને મળશે પ્રશ્નચિન્હ બરાબર 90 ઔંશ માટે આ ખૂણો 90 ઔંશ નો મળશે તેથી આપણે તેને ભૂંસી દઈએ અને અહીં આપણે કાટખૂણા ની નિશાની બનાવીએ કારણકે આ 2 વચ્ચે બનતો ખૂણો 90 ઔંશ નો છે હવે આપણે અહીં એક રેખા બનાવીએ કે જેથી એક સમલં ચાટુસ્કોન મળે અહીં આ બાજુ a છે આ બાજુ b છે આ બંને બાજુ એક બીજાને સમાંતર છે હવે જો આપણે આને જોડી દઈએ તો આપણને એક સમલં ચાટુસ્કોન મળે છે અને આ સમલં ચાટુસ્કોન નું ક્ષેત્રફળ શોધવાની ઘણી બધી રીત છે પ્રથમ રીત મુજબ સમલં ચાટુસ્કોન આ ત્રોને ઘ્વારા બને છે માટે આ દરેક નું ક્ષેત્રફળ શોધીને આપણે ત્રોને નો સરવાળો કરીશુ તો આપણને સમલં ચાટુસ્કોન નું ક્ષેત્રફળ મળશે આપણે તેના વિષે વિચારીએ તો વિચારો કે સમલમ ચતુષ્કોણ નું ક્ષેત્રફળ શુ થશે સમલમ ચતુષ્કોણ નું ક્ષેત્રફળ બરાબર તેની ઊંચાઈ જે છે a વત્તા B જે અહીં આ તેની ઊંચાઈ છે ગુણ્યાં ઉપર અને નીચેની બાજુઓ ની સરેરાશ તે થશે ગુણ્યાં 1 ના છેદમાં 2 કાઉનષ માં આ 2 બાજુઓ નો સરેરાશ હોવાથી a a વત્તા b આપણે અહીં ઊંચાઈ અને ઉપર અને નીચેની બાજુઓ ના સરેરાશ નો ફક્ત ગુણાકાર કારીઓ છે જે સમલં ચાટુસ્કોન નું ક્ષેત્રફળ આપશે ત્રોને નાના ત્રિકોનો નું ક્ષેત્રફળ સોઢીએ અને તેમનો સરવાળો કરીએ તો વિચારો કે તે કયી રીતે શોધી શકાય અહીં આ દરેક આ બંને આ દરેક કાટકોણ ત્રિકોણ છે આના બરાબર આ નીચેના કાટકોણ ત્રિકોણ જેને હું કેસરી રંગ વડે દર્શાવું છે તેનું ક્ષેત્રફળ શુ થશે આનું ક્ષેત્રફળ થશે 1 ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં a ગુણ્યાં b એટલે કે 1 ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં પાયો ગુણ્યાં વેઢ પરંતુ તેવા આપણી પાસે 2 કાટકોણ ત્રિકોણ છે રણકે આ બંને કાટકોણ ત્રિકોણ એકરૂપ છે અને આપણે તેને આ ત્રિકોણને ફેરવી નેજ આ ત્રિકોણ બનાવીઓ છે માટે આ બંને ત્રિકોનો એક રૂપ છે આમ આ બંન્ને ત્રિકોનો એકરૂપ હોવાથી આપણે તેને 2 વડે ગુણીસુ આમ આ પીડા રંગ વડે દર્શાવેલા ત્રિકોણ નું આખા ત્રિકોણ નું આ ક્ષેત્રફળ છે જે આ નીચે અને ઉપરના ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ ના સરવાળો છે હવે આ મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શુ થશે જેને હું આ લીલા રંગ વડે દર્શાવું છુ આ ત્રિકોણ નું ક્ષેત્રફળ શુ થશે તે ખુબ જ સરળ છે વત્તા એક ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં c ગુણ્યાં c એક ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં પાઈઓ ગુણ્યાં વેઢ જે થશે વત્તા એક ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં c નો વર્ગ હવે આપણે આનું સાદુંરૂપ આપીએ અને તે માટે આપણે આ બધાજ પાડો ને ફરીથી ગોઠવીસુ માટે આ થશે 1 ના છેદમાં 2 ગુણ્યાં a વત્તા b ગુણ્યાં a વત્તા b જે થશે a વત્તા b આખા નો વર્ગ બરાબર જમણી તરફ 2 ગુણ્યાં 1 ના છેદમાં 2 1 થઈ જશે માટે રહેશે a ગુણ્યાં b વત્તા 1 ના છેદમાં 2 c નો વર્ગ હવે આપણે આ 1 ના છેદમાં 2 ને દૂર કરવા માંગીએ છીએ માટે સમીકરણ ને બંને બાજુ આપણે 2 વડે ગુણી શુ સમીકરણ ની બંને બાજુ જોઈએ આપણે 2 વડે ગુણી શુ આમ ડાબી તરફ આપણને મળશે a વત્તા b આખા નો વર્ગ બરાબર આ થશે 2 ગુણ્યાં a ગુણ્યાં b વત્તા c નો વર્ગ હજુ આગળ સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળશે a વત્તા b આખા નો વર્ગ જેનું વિસ્તરણ કરતા મળશે a નો વર્ગ વત્તા 2 a b વત્તા b નો વર્ગ બરાબર 2 ab વત્તા c નું વર્ગ હવે આપણી પાસે ડાબી અને જમણી બંને બાજુ 2 a b હોવાથી સમીકરણોની બંને બાજુ 2 a b ને બાદ કરતા તે નીકળી જશે અને આપણને મળશે a નો વર્ગ વત્તા 2 નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ આ આપણને મળ્યો પાયથાગોરસ નો પ્રમેય જે જેમ્સ ગાર્ફીલ્ડ ઘ્વારા આપવામાં આવ્યો છે અને તે ખુબજ રસપ્રદ છે