સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં દોલનો કરતુ દળ

આપણે અહીં થોડો અલગ પ્રકારનો કેન્દ્રગામી બળનો મહાવરો કરીશું અહીં આ એક દળ છે જેને દોરી સાથે બાંધેલું છે અને આ દોરીને છત સાથે બાંધેલી છે આ દળનો પ્રારંભિક વેગ આપેલો છે અહીં આ દળ સમક્ષિતિજ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે તેથી તે પોતાની અચલ ઊંચાઈ જાળવી રાખે છે તે ઉપર કે નીચે થતું નથી પરંતુ તે સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં પરિભ્રમ કરે છે તેથી જો તમે આ બાબતને ઉપર કે નીચેથી જોશો તો તે કંઈક આ પ્રકારનું દેખાશે અહીં આ દળ નિયમિત વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે હવે મેં અહીં બે પ્રશ્ન પૂછ્યા છે પ્રથમ એ કે આ દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે અને બીજું આ દળની ઝડપ કેટલી હોવી જોઈએ આપણે અહીં કેટલીક માહિતી આપેલી છે આ બોલનું દળ 3 કિગ્રા છે આ દોરીની લંબાઈ 2 મીટર છે અને આ દોરી આ શિરોલંબ સાથે 30 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે હવે અહીં આ પ્રકારનો પ્રશ્ન મહત્વનો છે જો તમને કેન્દ્રગામી બળ વિશે નહિ સમજ ન હોય તો તમે તેના પ્રશ્નોને ઉકેલ્યા ન હોય તો તમે આ પ્રકારના પ્રશ્નોને ઉકેલી શકશો નહિ આ પ્રકારના પ્રશ્નો તમને અઘરા લાગશે કેન્દ્રગામી બળનો અર્થ શું થાય તે સમજવા આપણે આ પ્રશ્નને ઉકેલીશું અને કેન્દ્રગામી બળને લગતા કોઈ પણ પ્રકારના પ્રશ્નને ઉકેલવાની એક રીત છે તે હું તમને બતાવીશ સૌ પ્રથમ પ્રશ્નમાં આપેલા પદાર્થ માટે બળની આકૃતિ દોરો પ્રશ્નમાં આપેલા પદાર્થ માટે બળની આકૃતિ દોરો હવે આ 3 કિગ્રામાં પદાર્થ પર અળગતું બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે આ પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સીધું નીચેની દિશામાં લાગે અને આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને શોધવાનું સૂત્ર m ગુણ્યાં g છે m ગુણ્યાં 9 .8 મીટર પ્રતિ સેકેંડનો વર્ગ હવે આ દળને સ્પર્શ કરતો ફક્ત એક જ પદાર્થ છે અને તે આ દોરડું છે તેથી આ દળ પર લાગતું બીજું બળ તણાવ બળ હશે તે બળ આ દિશામાં આવશે અને હું તેને T વડે દર્શાવીશું દોરડા વડે લાગતું કુલ તણાવ બળ હવે આ પ્રકારના પ્રશ્નને ઉકેલવાની રીત ફક્ત બે સ્ટેપમાં જ આવશે અને અહીં બીજું સ્ટેપ એ છે કે તમે ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો તમે અહીં આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો પરંતુ તમે આ સૂત્રનો ઉપયોગ એક જ સમયે કોઈ પણ એક જ દિશા માટે કરો એક જ સમયે કોઈ પણ એક દિશા અથવા કોઈ પણ એક પરિમાણ સામાન્ય રીતે આપણી પાસે બે દિશા હોય છે શિરોલંબ દિશા અને સંક્ષેતિજ દિશા આપણે તે બંને માંથી કોઈ એકને પસંદ કરવાની હોય છે તમે ખોટી દિશાને પસંદ કરી શકો નહિ જો તમે ખોટી દિશાને પસંદ કારસો તો તમે આ પ્રશ્નને ઉકેલી શકશો નહિ કારણ કે ત્યાં ઘણા બધા ચલ હશે પરંતુ જો તમે ખોટી દિશાને પસંદ કરી લીધી હોય તો તમારે તેને છેકવાની જરૂર નથી તમે તેની જગ્યા એ બીજી દિશાના પસંદ કરો હું અહીં આ બધા બળોનું નિરીક્ષણ કરવા શિરોલંબ દિશાને પસંદ કરીશ માટે શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ બરાબર y દિશામાં પ્રવેગ બરાબર શિરોલંબ દિશામાં પરિણામી બળ ભાગ્યા દળ હવે શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ શું થાય તે -9 .8 નથી ઘણા લોકો એવું માને છે કે શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગ -9 .8 મીટર પ્રતિ સેકેંડનો વર્ગ થશે પરંતુ જો આ બોલ મુક્ત પતન કરતો હોય ત્યારે જ તે થાય પરંતુ અહીં આ બોલ મુક્ત પતન કરતો નથી તે પોતાની શિરોલંબ ઊંચાઈ જાળવી રાખે છે તે અચલ ઊંચાઈથી વર્તુળાકાર પાથ પર ગતિ કરે છે તેનો અર્થ એ થાય કે ત્યાં કોઈ શિરોલંબ વેગ નથી અને તેનું શિરોલંબ પ્રવેગ પણ શૂન્ય છે બોલ અહીં શિરોલંબ પરિણામમાં કોઈ ગતિ કરતો નથી માટે સમીકરણ ની ડાબી બાજુએ 0 આવશે તેનું શિરોલંબ પ્રવેગ 0 થાય અને તેના બરાબર શિરોલંબ દિશામાં પરિણામી બળ હવે અહીં આ બોલ પર લાગતું એક બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે તેથી હું અહીં mg લખીશ પરંતુ તેની દિશાને ધ્યાનમાં રાખો જો ઉપરની તરફની દિશા ધન હોય તો અહીં નીચેની તરફની દિશા રન આવશે જયારે પણ આપણે શિરોલંબ દિશા સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ ત્યારે નીચેની દિશાને ઋણ લેવામાં આવે છે તેથી અહીં mg ઋણ આવશે હવે શું ત્યાં બીજા કોઈ શિરોલંબ બળ છે તેના માટે આપણે અહીં આકૃતિ જોઈએ આકૃતિ જોઈને કહી શકાય કે ત્યાં બીજા કોઈ શિરોલંબ બળ છે કે નહિ ત્યાં ફક્ત બીજું એક બળ છે અને તે તણાવ બળ છે અને આપણે અહીં કુલ તણાવ બળની કિંમત મૂકી શકીએ નહિ આપણે એવું ત્યારે જ કરી શકીએ જયારે આ તણાવ બળ સંપૂર્ણ પણે શિરોલંબ દિશામાં હોય પરંતુ અહીં તે સંપૂર્ણ પણે શિરોલંબ દિશામાં નથી તેનો અમુક ભાગ શિરોલંબ દિશામાં આવશે અને અમુક ભાગ સમક્ષિતિજ દિશામાં આવશે તણાવ બળનો જે ઘટક સમક્ષિતિજ દિશામાં આવશે તેને આપણે અહીં Tx કહીશુ અને જે ઘટક શિરોલંબ દિશામાં આવશે આપણે તેને Ty કહીશું અને આપણે અહીં આ સમીકરણમાં ફક્ત Ty ની કિંમત મુકીશું કારણ કે આપણે શિરોલંબ દિશા માના બળને ધ્યાનમાં લઇ રહ્યા છીએ તેથી +Ty પરંતુ હું અહીં T માટે ઉકેલવા મંગુ છું આ Ty માટે નહિ હું અહીં T ના સંધર્ભમાં Ty ની કિંમત મુકવા મંગુ છું અને આપણે તે કરી શકીએ તમે અહીં જોઈ શકો કે આ એક ત્રિકોણ બને છે અહીં આ દોરડું તેના શિરોલંબ ઘટક સાથે એક ખૂણો બનાવે છે અને આ ખૂણાની કિંમત અહીં આ ખૂણાની કિંમતને સમાન થાય દોરડું એ તણાવ નથી પરંતુ દોરડા વડે લાગતું બળ એ તણાવ બળ છે અને આ તણાવ બળની દિશા એ આ દોરડાની દિશામાં જ છે લોકો ઘણી વાર અહીં ભૂલ કરે છે ઘણી વાર લોકો કહે છે કે આ દોરડાનું તણાવ બળ 2 મીટર છે પરંતુ તે સાચું નથી અહીં આ તણાવ એ દોરડું નથી પરંતુ દોરડાની લંબાઈ 2 મીટર છે આ દોરડાની લંબાઈ એ દરોડા વડે લગતા તણાવ બળની દિશામાં જ હોય છે આ દોરડાની લંબાઈ એ દોરડા વડે લગતા તણાવ બળની દિશામાં છે પરંતુ અહીં તણાવ બળ જુદું આવશે અને દોરડાની લંબાઈ જુદી આવે પરંતુ આ દોરડા વડે લાગતું તણાવ બળ અને તણાવ બળના y ઘટક વચ્ચેનો ખૂણો એ આ દોરડું અને આ શિરોલંબ વચ્ચેના ખૂણાને સમાન થાય તેથી આપણે અહીં કહી શકીએ કે આ ખૂણાનું માપ પણ 30 ડિગ્રી છે હવે આપણે અહીં આ Ty ઘટકનું મૂલ્ય શોધી શકીએ અહીં આ T અને આ ખૂણાના સંધર્ભમાં તેનું મૂલ્ય શું થાય અહીં આ ખૂણો કાટખૂણો છે અને આ બાજુ એ ખૂણાની પાસેની બાજુ છે તેથી આપણે અહીં કોસાઈન નો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે કહી શકીએ કે કોસાઈન ઓફ 30 ડિગ્રી બરાબર પાસેની બાજુ જે Ty થશે છેદમાં કર્ણ જે T છે ઘણી વાર લોકો આમ પણ ભૂલ કરે છે તેઓ કહે છે કે અહીં આ સામેની બાજુ થાય પરંતુ જો તમે આ ખૂણો લો તો અહીં આ બાજુ તેની સામેની બાજુ થશે પરંતુ આપણે અહીં આ ખૂણા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ માટે આ બાજુ એ આ ખૂણાની પાસેની બાજુ થાય હવે જો આપણે તેને T ના સંધર્ભમાં લખીએ તો બંને બાજુ T વડે ગુણીએ તેથી Ty બરાબર T ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ 30 ડિગ્રી શિરોલંબ ઘટકનું મૂલ્ય આ થશે માટે આપણે હવે આ કિંમત સમીકરણમાં મુકીશું કારણ કે આપણે શિરોલંબ દિશામાં લગતા બળને ધ્યાનમાં લઇ રહ્યા છીએ અને તેની નિશાની ધન આવશે કારણ કે તે ઉપરની દિશામાં લાગે છે + T ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ 30 ડિગ્રી ભાગ્યા દળ m હવે આપણે T માટે ઉકેલી શકીએ હવે આપણે અહીં T માટે ઉકેલી શકીએ સમીકરણની બંને બાજુએ m વડે ગુણીએ અને પછી બંને બાજુ mg ઉમેરીએ ત્યાર બાદ બંને બાજુ cos ઓફ 30 વડે ભાગીએ તેથી આપણને T = mg /cos ઓફ 30 ડિગ્રી મળે હવે આપણે જો આ તમામની કિંમત મૂકીએ તો T બરાબર અહીં દળ 3 કિગ્રા છે ત્યાર બાદ g 9 .8 મીટર પ્રતિ સેકેંડનો વર્ગ થશે ભાગ્યા કોર્સ ઓફ 30 ડિગ્રી અને તેની ગણતરી કરીએ તો આપણને તણાવ બળ બરાબર લગભગ 33 .9 ન્યુટન મળે જેને આપણે 34 ન્યુટન લખીશું અહીં આ દોરડામાં લાગતું તણાવ બળ છે આપણે આપનો એક ભાગ ઉકેલી લીધો દોરડામાં લાગતું તણાવ બળ 34 ન્યુટન છે હવે બીજો ભાગ શોધીએ હવે આપણે તેની ઝડપ શોધીએ અને તે કઈ રીતે શોધી શકાય આપણે અહીં બળની આકૃતિ દોરી આપણે એક પરિમાણમાં ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કર્યો હવે આપણે અહીં બીજો ભાગ શોધવા બીજી દિશામાં ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીએ હવે આપણે ન્યુટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ x દિશામાં કરીએ માટે x દિશામાં પ્રવેગ બરાબર x દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ ભાગ્યા દળ હવે શું ત્યાં x દિશામાં કોઈ પ્રવેગ છે ત્યાં શિરોલંબ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હતું તેથી તમને એવું થશે કે x દિશામાં પણ કોઈ પ્રવેગ નથી પરંતુ ત્યાં છે અહીં આ દળ સમક્ષિતિજ દિશામાં જાય છે તેનો અર્થ એ થાય કે આ દિશામાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હશે તેથી અહીં સમક્ષિતિજ દિશા એ કેન્દ્રગામી દિશા થશે તેથી તેને વધુ સ્પષ્ટ બનાવવા હું અહીં x ની જગ્યાએ c લખીશ ac અને Fc અને જયારે પણ તમારી પાસે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય તો તમે તેની જગ્યાએ v નો વર્ગ એટલે કે ઝડપનો વર્ગ ભાગ્યા r મુકો અને તેના બરાબર કેન્દ્રગામી દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ ભાગ્યા દળ હવે કેન્દ્રગામી દિશામાં કયું બળ લાગે છે હવે અહીં કેન્દ્રગામી દિશા એ x દિશા છે તેથી કેન્દ્રગામી દિશામાં લાગતું બળ એ અહીં વર્તુળના કેન્દ્રતરફ લાગતું બળ થશે જે x દિશા છે અને કેન્દ્રગામી દિશામાં કયું બળ લાગે છે તે શોધવા આપણે અહીં બળની આકૃતિ દોરીએ મેં તેને એટલા માટે દોર્યું છે કે તેના પરથી આપણે શિરોલંબ બળ નક્કી કરી શકીએ જેની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકી અને તેવી જ રીતે કેન્દ્રગામી બળ એટલે કે સમક્ષિતિજ બળ નક્કી કરી શકીએ જેની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકી શકાય સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું ફક્ત એક જ બળ છે અને તે આ તણાવ બળનો x ઘટક છે Tx પરંતુ આપણે આ Tx નું મૂલ્ય કુલ તણાવ બળ T અને થિટાના સંધર્ભમાં લખીએ જેવી રીતે Ty = T cos ઓફ 30 હતું તેવી રીતે Tx = T sin ઓફ 30 ડિગ્રી થશે જો તમને અહીં વિશ્વાસ ન થતો હોય તો તમે તેને જાતે જ સાબિત સારી શકો અહીં Tx એ આ ખૂણાની સામેની બાજુ થશે અને સામેની બાજુ માટે આપણે sin નો ઉપયોગ કરીએ છીએ માટે sin ઓફ 30 ડિગ્રી બરાબર સામેની બાજુ જે Tx છે છેદમાં કર્ણ જે કુલ T થશે અને Tx માટે ઉકેલવા અહીં T ને બંને બાજુ ગુણીએ જેથી આપણને આ મળશે Tx = ત ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી હવે આપણે તેની કિંમત અહીં લખી શકીએ કારણ કે x દિશામાં એટલે કે કેન્દ્રગામી દિશામાં લાગતું ફક્ત એક માત્ર બળ આ તણાવ બળનો x ઘટક છે માટે T ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી હવે તમને સમજાયું હશે કે આપણે સૌ પ્રથમ આ દિશા કેમ ન લીધી જો આપણે તે દિશા લીધી હોત તો આપણી પાસે v હોત અને T પણ હોત અને આ બંને અજ્ઞાત છે માટે સૌપ્રથમ આપણે શિરોલંબ દિશા લીધી જેના કારણે આપણે તણાવ બળ શોધી શક્યા પરંતુ આપણે હવે જાણીએ છીએ કે આ તણાવ બળનું મૂલ્ય 34 મીટર છે તેથી તેની કિંમત આપણે અહીં મૂકી શકીએ અને આ ઝડપ માટે ઉકેલી શકીએ પરંતુ અહીં લોકો એ ખુબ જ સામાન્ય ભૂલ કરે છે લોકો અહીં r ને બે મીટર લે છે કારણ કે આપણને અહીં 2 મીટર આપેલું છે પરંતુ તે r નથી કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં r = પદાર્થ જે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હોય તેની ત્રિજ્યા થાય પરંતુ અહીં પદાર્થ 2 મીટરની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળમાં ગતિ કરતો નથી આ વર્તુળની ત્રિજ્યા કંઈક આવી દેખાશે અને આ ત્રિજ્યા બે મીટર નથી આપણે તેને કઈ રીતે ઉકેલી શકીએ ફરીથી આપણે ત્રિકોણમીટીનો ઉપયોગ કરીએ આપણે અહીં કાટકોણ ત્રિકોણની રચના કરીશું આ પ્રમાણે પરંતુ આ વખતે આપણે આ લંબાઈનો ઉપયોગ કરીશું આ તણાવ બળનો અહીં આ કાટખૂણો થશે અને આ ત્રિજ્યા થશે અને આ ત્રિજ્યા એ ખૂણાની સામેની બાજુ છે તેથી આપણે sin નો ઉપયોગ કરીશું માટે આપણે અહીં કહી શકીએ કે sin ઓફ 30 ડિગ્રી બરાબર સામેની બાજુ r છેદમાં કર્ણ જે L થશે હવે બંને બાજુ L વડે ગુણીએ તો આપણને ત્રિજ્યા મળે તેની કિંમત આપણે અહીં મૂકી શકીએ તેથી v નો વર્ગ છેદમાં L ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી બરાબર T ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી ભાગ્યા m હવે સમીકરણની બંને બાજુએ L sin 30 ડિગ્રી વડે ગુણીએ તો આપણને v નો વર્ગ બરાબર T ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી ગુણ્યાં L ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી ભાગ્યા m મળે અને હવે ઝડપ માટે ઉકેલવા આપણે બંને બાજુ વર્ગમૂળ લઈએ અહીં બંને બાજુ વર્ગમૂળ લઈએ હવે આપણે આ તમામની કિંમત મૂકીએ માટે તેના બરાબર વર્ગમૂળમાં T એ 34 ન્યુટન છે 34 ન્યુટન ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી ગુણ્યાં અહીં લંબાઈ 2 મીટર છે 2 ગુણ્યાં sin ઓફ 30 ડિગ્રી sin ઓફ 30 ડિગ્રી ભાગ્યા અહીં દળ 2 કિગ્રા છે હવે જો આપણે આ તમામની કિંમત મૂકીને ઉકેલીએ તો આપણને લગભગ 2 .4 મીટર પ્રતિ સેકેંડ મળે જેને શોધવાનું આપણે પ્રયત્ન કરી રહ્યાં હતા આમ આ પ્રકારના પ્રશ્નોને ઉકેલવા સૌ પ્રથમ તમે તે પદાર્થ પર લગતા તમામ બળને દોરો ત્યાર બાદ કોઈ પણ એક જ પરિમાણમાં ન્યુટનની ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો અને અહીં આ પરિણામી બળમાં ફક્ત તે જ દિશામાં લગતા બળની કિંમત મુકો હવે જો તમે કેન્દ્રગામી દિશા પસંદ કરો તો તમે કેન્દ્રગામી પ્રવેગની જગ્યાએ v નો વર્ગ છેદમાં r મુકો પરંતુ ફરીથી કેન્દ્રગામી દિશા માટે ફક્ત કેન્દ્રગામી દિશામાં લગતા જ બળની કિંમત મુકો અને યાદ રાખો કે જયારે આપણે ત્રિજ્યાની વાત કરતા હોઈએ ત્યારે આ વસ્તુ જે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે તે વર્તુળની ત્રિજ્યા