ચરઘાતાંકીય ક્ષય અને સેમી-લોગ આલેખ

આપણી પાસે ચરઘાતાંકી ક્ષયનો આલેખ છે જ્યાં N એ રેડીઓ એક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા દર્શાવે છે અને તે સંખ્યા સમયના વિધય તરીકે છે અહીં આ જે સમીકરણ છે તે આ આલેખાને દર્શાવે છે કોઈ પણ સમય આગળ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા ગુણ્યાં e ની માઈનસ લેમલા t ઘાત અહીં લેમલા એ ક્ષય અચળાંક છે લેમલા બરાબર ક્ષય અચળાંક તે એ ચોક્કસ સંખ્યા છે તમે તેના બરાબર K પણ લઈ શકો અને તમે તેને દર અચળાંક તરીકે વિચારી શકો તે ફક્ત એક અચળ સંખ્યા છે જેનો ગુણાકાર આપણે સમય સાથે કરીયે છીએ હવે આલેખ પરનું આ બિંદુ શું દર્શાવે છે તે આપણે શોધવા માંગીયે છીએ અને આ બિંદુ ત્યારે મળશે જયારે સમય t બરાબર ૦ છે માટે T બરાબર ૦ ની કિંમત આપણે અહીં આ સમીકરણમાં મુકીયે T બરાબર ૦ હોય ત્યારે ન્યુક્લિયસ ની સંખ્યા બરાબર N0 ગુણ્યાં e ની માઈનસ લેમલા ગુણ્યાં ૦ ઘાત અને આના બરાબર T બરાબર હોય ત્યારે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર N0 ગુણ્યાં e ની ૦ ઘાત હવે E ની ૦ ઘાત ૧ થાય માટે T બરાબર ૦ હોય ત્યારે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર N0 ઝીરો આમ અહીં આ બિંદુ N0 દર્શાવે છે આપણા આલેખ પર રેડીઓ એક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા હવે તમે આ કોઈ પણ સમય T માટે કરી શકો તમે આ અક્ષ પર કોઈ પણ સમયને પસંદ કરો ધારોકે આપણે આ સમય લઈએ તેને આ સમય સુધી લંબાવીએ જેથી આ બિંદુ મળશે પછી તેને આ બિંદુએ લંબાવો તેથી આપણને તે સમય આગળ રેડીઓ એકટીવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા મળશે અહીં આ N થાય હવે આપણે અહીં અર્ધ આવ્યું એટલેકે હાફ લાઈફ માટે કરીયે યાદ કરો કે જયારે સમય બરાબર અર્ધ હોય ત્યારે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર ન્યુક્લિયસની પ્રારંભક સંખ્યા ભાગ્ય ૨ રદ આવ્યું પછી આપણી પાસે તેની સંખ્યા અધડી જ બાકી રહે તો આપને હવે તેને આલેખ પર જોયીયે જો આપણે આ પ્રારંભિક સંખ્યાનું અધડૂ જોયીયે તો તે લગભગ અહીં આવશે આ N0 ભાગ્ય ૨ છે આપણે આ બિંદુને આલેખ સુધી લય જાઈએ આ પ્રમાણે અને હવે તેને X અક્ષ પર લંબાવીએ તો આપણે કંઈક આ પ્રમાણે મળે તેથી હવે આ સમય અર્ધ આવ્યું હોવો જોયીયે હવે આપણે અર્થ આયુની કિંમત અને અર્ધ આયુ સમયે ન્યુક્લિયસની જે સંખ્યા હશે તે કિંમત આ સમીકરણમાં મુકીયે હું અહીં સમીકરણને ફરીથી લખીશ T ના વિધાય તરીકે એડીઓ એકટીવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર રેડીઓ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા T ઘાટ જયારે આપણે અર્ધ આયુની વાત કરીયે ત્યારે તે સમયને અહીં T ના સ્થાને મુકીશું અને પછી રેડીઓ એકટીવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અધડી થાય છે તેને અહીં મુકીશું માટે અહીં N ઓફ T ની જગ્યાએ N0 ના છેદમાં ૨ આવશે બરાબર N0 ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત T ની જગ્યાએ આપણે અર્ધ આયુ લખીશું કંઈક આ પ્રમનાએ બંને બાજુથી N0 કેન્સલ થાય જશે તેથી આપણી પાસે સમીકરણોની ડાબી બાજુ ૧ ના છેદમાં ૨ બાકી રહે બરાબર E ની માઈનસ લેમલા ગુણ્યાં t ૧/૨ ઘાત હવે અહીં આપણે આ E ને દૂર કરવા માંગીયે છીએ તેથી સમીકરની બંને બાજુએ નેચરલ લોગ લઈએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ ૧ ના છેદમાં ૨ બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ E ની માઈનસ લેમલા T ૧/૨ ઘાત જો તમે કેલકુલીતરામાં ગણતરી કરો તો તમને નેચરલ લોગ ઓફ માઈનસ ૧ ઘાત બરાબર માઈનસ ૦.૬૯૩ મળે બરાબર અહીં આ બંને કેન્સલ થાય જશે અને આપણી પાસે ફક્ત આ ઘાત જ બાકી રહે ઓછા લેમાળ ઓછા T ૧/૨ આપણે અહીં રન નિશાની ચિંતા કરવાની જરૂર નથી તે બંને બાજુથી કેન્સલ થાય જશે માટે આપણે ૦.૬૯૩ બરાબર લેમાળ ગુણ્યાં T ૧/૨ મળે આપણે હવે આ T ૧/૨ માટે ઉકેલી શકીયે બંને બાજુ લેમલા વડે ભાગીયે માટે T ૧/૨ બરાબર ૦.૬૯૩ ભાગ્ય લેમલા ભાગ્ય ક્ષય અચળાંક તેથી તમે અર્ધ આયુ માટે આ પ્રકારનું સમીકરણ જોય શકો હવે જો તમે ક્ષય અચળાંક લેમલા માટે ઉકેલવા માંગો તો તે ખુબજ સરળ છે લેમલા બરાબર ૦.૬૯૩ ભાગ્ય અર્ધ આયુ આમ તમે અર્ધ આયુ માટે પણ ઉકેલી શકો અને તમે લેમલા માટે પણ ઉકેલી શકો મેં ફક્ત આ સમીકરને ફરીથી લખ્યું છે જો તમે આ બંને માંથી કોઈ પણ એકની કિંમત જાણતા હોવ તો તમે બીજાની કિંમત શોધી શકો આમ ચરઘાતાંકી આલેખ વિશે આ રીતે વિચારી શકાય હવે આપણે સેમી લોગ આલેખ વિશે વિચારીયે જે માહિતી વિશે વિચારવાની બીજી રીત છે તેના માટે હું સમીકરને ફરીથી લખીશ રેડીઓ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા બરાબર તેની પ્રારંભિક સંખ્યા ગુણ્યાં E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત હવે આપણે આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણમાં ફેરવીએ સમીકરણની બંને બાજુએ N0 વડે ભાગીયે માટે N ભાગ્ય N0 E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત હવે આ T ને દૂર કરવા બંને બાજુ નેચરલ લોગ લઈએ માટે નેચરલ લોગ ઓફ N ભાગય N0 બર્બર નેચરલ લોગ ઓફ E ની માઈનસ લેમલા T ઘાત ડાબી બાજુ લાખુગનાંકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી શકાય માટે આને ફરીથી લખીયે નેચરલ લોગ ઓફ N ઓછા નેચરલ લોગ ઓફ N0 બરાબર જમણી બાજુ આ બંને કેન્સલ થાય જશે અને આપણી પાસે ફક્ત માઈનસ લેમલા T બાકી રહે સમીકરણની બંને બાજુએ નેચરલ લોગ ઓફ N0 ને ઉમેરીએ માટે નેચરણ લોગ ઓફ N બરાબર માઈનસ લેમલા T પ્લસ નેચરલ લોગ ઓફ N0 હવે આપણી પાસે અહીં ખુબજ રસપ્રદ સ્વરૂપ છે જો તમે આ સમીકરને ધ્યાનથી જોશો તો આ સમીકરણ Y બરાબર MX વત્તા B ને ઘણું મળતું આવે છે અને આ સમીકણ સુરેખા રેખાનું સમીકરણ છે અહીં Y બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ N છે m બરાબર માઈનસ લેમલા થશે આપણે T ને X તરીકે લઈએ છીએ અને B બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ N0 જો તમને યાદ હોય તો અહીં આ સમીકરણ તમને સુરેખ રેખાનો સમીકરણ આપશે જ્યાં M બરાબર ઢાલ છે સ્લોપ અને તેના બરાબર માઈનસ લેમલા અને જો તમને યાદ હોય તો અહીં આ સીરોલંબ અંતઃખાંડ છે B બરાબર સીરોલંબ અંતઃખાંડ માટે આ સમીકરણમાં સીરોલંબ અંતઃખડ નેચરલ લોગ ઓફ N0 થશે આપણે ઝડપથી તેનો આલેખ દોરીએ તે કંઈક આ પ્રમાણે આવાસે અહીં આ Y અક્ષ છે અને આ X અક્ષ હવે અહીં Y બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ નછે માટે આ Y અક્ષ પર નેહકરણ લોગ ઓફ N આવશે અને X અક્ષ પર સમય આવશે કંઈક આ પ્રમાણે અને આ સમીકરણમાં સીરોલંબ અંતઃખાંડ નેચરણ લોગ ઓફ n0 છે અહીં આ બિંદી નેચરણ લોગ ઓફ n0 છે આપણે તેને ઝડપથી સાબિત કરી શકીએ આ સમીકરણમાં T બરાબર ૦ લઈએ T બરાબર ૦ માટે નેચરલ લોગ ઓફ N બરાબર માઈનસ લેમલા ગુણ્યાં ૦ વત્તા નેચરલ લોગ ઓફ N0 તમે જોય શકો કે અહીંથી આ કેન્સલ થાય જશે તમને નેચરલ લોગ ઓફ N બરાબર નેચરલ લોગ ઓફ N0 મળશે અને તે આપનો Y અન્તઃખંડ છે અથવા સીરો લંબ અંતઃખાંડ હવે આપણે જાણીયે છીએ કે આ સુરેખ રેખાનો આલેખ છે આપણને તેનો ઢાલ રન મળશે જે અહીં છે અને તે આલેખ કંઈક આ રીતે દેખાય અને આ રેખાનો ઢાલ બરાબર Y માં થતો ફેરફાર ભાગ્ય X માં થતો ફેરફાર એટલકે નેચરલ લોગ ઓફ N માં થતો ફેરફાર ભાગ્ય T માં થતો ફેરફાર જેના બરાબર માઈનસ લેમલા છે જે આપણે અહીં જોય ગયા અને આ સેમી લોગ આલેખ છે કારણકે આપણી પાસે અહીં નેચરલ લોગ ઓફ N નો T ની વિરુદ્ધમાં આલેખ છે તમે આ રેખાનો ઢાલ શોધી સાહકો અને પછી જો તમે તેનું ઋણ લો તો તમને આ ક્ષય અચળાંક મળે અને પછી તે ક્ષય અચળાંક પરથી તમે અર્થ આયુ શોધી શકો આમ સેમી લોગ આલેખ માહિતીને જોવાની બીજી રીત છે