ડોટ વિરુદ્ધ ક્રોસ ગુણાકાર

ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોશ ગુણાકાર વચ્ચે સરખામણી કરીયે આપણે અહીં બે સદિશોને દોરીને સમજીયે ધારોકે આ પહેલો સદિશ છે આ પ્રમાણે અને આ બીજો સદિશ છે આપણે અહીં આને સદિશ A કહીશું અને આને સદિશ B કહીશું અને આ બંને સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો થિટા છે સૌપ્રથમ આપણે બંને ગુણાકારની વખાયા જોયાંશુ અને પછી તેના વિશે સમાજ મેળવીશું કદાચ તમે તેની વકહ્યાથી પરિચિત જ હસો તો અહીં A . B શું થાય ? સૌપ્રથમ આના બરાબર B . A થશે કારણકે જયારે તમે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર લો કારણકે ક્રમ મહત્વનું નથી કારણકે તમને અહીં ફક્ત સંખ્યા મળે છે અને તેના બરાબર સદિશ A નું માન ગુણ્યાં સદિશ B નું માન ગુણ્યાં તે બંને ખૂણા વચ્ચેનું કોસાઈન ઓફ થિટા હવે આપણે ક્રોસ્સ ગુણાકારની વ્યાખ્યા જોયીયે સદિશ A ક્રોસ્સ સદિશ B શું થાય ? સૌથી પહેલા તેના બરાબર B ક્રોસ્સ A થશે અહીં કારણકે તે અમને વિરુદ્ધ દિશામા મળશે તેના બરાબર માઈનસ B ક્રોસ A થાય કારણકે જયારે તમને પરિણામી સદિશ મળશે ત્યારે તેની દિશા ઉલટાયેલી હશે આના બરાબર સદિશ A નું માન ગુણ્યાં સદિશ B નું માન અહીં સુધી આ બંને સમાન લાગે છે પરંતુ હવે તેના ગુણાકારમાં આ બંને સદિશ વચ્ચેના ખૂણાનું સાઈન આવશે માટે ગુણ્યાં સાઈન ઓફ થિટા અને બંને વચ્ચેનો તફાવત આજ છે જયારે આપણે ડોટ ગુણાકાર લઈએ છીએ ત્યારે આપણે ફક્ત સંખ્યા મળે છે આપણે કોઈ દિશા મળતી નથી આપણે ફક્ત અડીશ રસી મળે છે અને જયારે આપણે ક્રોસ ગુણાકાર લઈએ ત્યારે આપણે સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સદિશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સાઈન થિટા લઈએ છીએ તે આપણને મૂલ્ય આપશે પરંતુ સાથે સાથે દિશા પણ આપે અને આ ક્રોસ ગુણાકારની દિશા અભિલંબ સાડીશ વડે આપવામાં આવે છે જે એકમ સદિશ છે એકમ સદિશની ઉપર આ રીતે હેત લખવામાં આવે છે હવે આની દિશા શું થાય ? તેની દિશા જમાના હાથના નિયમ વડે નક્કી કરવામાં આવે આમ આ આપણને એક સદિશ મળશે જે આ બંને સાડીશને લંબ હશે જે સદિશ A અને સદિશ B બંનેને લંબ હોય બંનેને લંબ હોય હવે તમે કહેશો કે મેં જે પ્રમાણે સદિશ A અને સદિશ B ને દોર્યા છે તે અહીં આ વીડિઓની સ્ક્રીનના સમતલમાં છે હવે આ બંને સાડીશને લંબ હોય એવું કંઈક મેળવવા ક્યાં તો તે ક્રીનમાં દાકહલ હોતું હોવું જોયીયે ક્યાંતો તે ક્રીનમાંથી બહાર નીકળતું હોવું જોયીયે જયારે તમે સદિશોનો ક્રોશ ગુણાકાર શીખો ત્યારે આ બંનેને લંબ હોય એવા સાડીશને આ પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે જો તે સ્ક્રીનમાંથી બહાર નીકળતું હોય તો આપણે તેને આ પ્રમાણે દર્શાવીશું તે એરોની ટોચ હોય એવું લાગે છે અને જો તે ક્રીનમાં દાખલ થતું હોય તો આપણે તેને આ પ્રમાણે દર્શાવીશું કારણકે આ એરોની પાછળનો ભાગ છે હવે આ બંનેમાંથી કયું આવે તે તમે કઈ રીતે જાણી શકો કારણકે આ બંને સદિશ A અને સદિશ B ને લંબ છે તેના માટે તમે જમાના હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો જેમાં તમે તમારી તર્જની સદિશ A ની દિશામા લો તમારી માધ્યમને સદિશ B ની દિશામા લો અને અંગુઠો જે દિશામા આવશે તે સદિશ N ની દિશા હશે તો આપણે હવે તેને દોરીએ જેમાં હાથ વડે કરવું તે સરન નથી પરંતુ પરુંત જમાનો હાથ કઈ આ પ્રમાણે દેખય તર્જની સદિશ A ની દિશામા આવશે આ પ્રમાણે ત્યાર બાદ માધ્યમ સદિશ B ની દિશામા આવશે આ પ્રમાણે તમે બાકીની આંગળીઓને કોઈ પણ રીતે રાખી શકો હું તેને આ પ્રમાણે વાળેલી રાખીશ કઈ આ રીતે અહીં આ મારો હાથ છે આ રીતે હવે મારો અંગુઠો એકેય દિશં આવે મારો અંગુઠો અહીં આ દિશં આવે તે સ્ક્રીનની અંદર જતું હોય એવું લાગે છે હવે તમે તમારા હાથને બાજુએથી જુવો તો તે કઈ આ રીતનો દેખાય અહીં આ તમારી હથેળી છે અહીં આ પ્રથમ આગલી અહીં આ બીજી આગલી ત્યાર બાદ તમારી માધ્યમ B ની દિશં જાય તર્જની સદિશ A ની દિશં જશે અને અહીં તમારો અંગુઠો દેખાશે નહિ કારણકે તમારો અંગુઠો અંદરની તરફ છે પરંતુ આછા છે કે તમને ખ્યાલ આવી ગયો હશે જયારે તારે A અને B નો ક્રોસ ગુણાકાર કરો ત્યારે આ સદિશ N ની દિશા આ પ્રમાણે આવે તે એકમ સદિશ છે અને તે તમને અહીં મૂલ્ય આપશે એકમાં સાડીશનો અર્થ એ થાય કે તેનું મૂલ્ય ૧ છે આમ ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકારનું મૂલ્ય એકબીજાને ઘણી નજીક છે તે બંનેમાં દરેક સાડીશન મૂલ્યનો સમાવેશ થાય છે ડોટ ગુણાકારમાં કોસાઈન ઓફ થિટા છે અને ક્રોસ ગુણાકારમાં સાઈન ઓફ થિટા છે પંરતુ આ બંને વચ્ચેનો સૌથી મોટો તફાવત એ છે કે સાઈન થિટા પાસે દિશા છે તેની પાસે એક એવો સદિશ છે જે આ બંનેને લેમ્બ છે જો તમે ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકારના વિડિઓ જોયા હશે તો તમને તેની થોડી સમાજ હશે આ ફક્ત પુનરાવર્તન હતું આપણે આ બંનેને દૂર કરીયે આપણે તેમને કાઢી નાખીયે સૌપ્રથમ A B કોસાઈન ઓફ થિતનો અભ્યાસ કરીયે અહીં B કોસાઈન ઓફ થિટા શું થાય ? કોસાઈન એ પાસેની બાજુમાં કર્ણ થશે જો તમે આ સદિશમાંથી લંબ દોરો જો તમે સદિશ B માંથી લંબ દોરો આ પ્રમાણે તો અહીં આ લંબાઈ એ સદિશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા થાય હું તેને અલગ દોરીને બતાવું આપણે તેજ સમાન આકૃતિ દોરીશું અહીં આ સદિશ A છે આ પ્રમાણે અને આ સદિશ B છે આ સદિશ B અહીં આ સદિશ A અને આ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો થિટા હવે જો તમે આને લંબ દોરો કંઈક આ પ્રમાણે તો આ કાટખૂણો બનાવશે તો અહીં આ પાસેની બાજુમાં કર્ણ એ કોસાઈન થિટા થશે માટે સદિશ B નું પ્રસેકોણ સદિશ A ની દિશામાંજ જાય અને અહીં આ B કોસાઈન થિટા થાય આ બાજુનું મૂલ્ય એ સદિશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન થિટા થાય તેથી જયારે તમે ડોટ ગુણાકાર કરી રહ્યા હોવ જેના બરાબર સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સદિશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા થાય છે તો તમે એવું પૂછી શકો તો સદિશ એનો કયો ભાગ સદિશ એની દિશામાંજ છે અને તેનું મૂલ્ય કઈ પણ હોય તમે તેનો ગુણાકાર સદિશ એના મૂલ્ય સાથે કરો જેથી મને ડોટ ગુણકારી મળે જે ભાગ એકજ દિશામા જાય છે તમે તેનો ગુણાકાર કરો હવે તમે ડોટ ગુણાકારને આવી રીતે પણ જોય શકો સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા ગુણ્યાં સદિશ B નું મૂલ્ય અહીં ક્રમ મહત્વનું નથી અહીં બધીજ અડીશ સંખ્યા છે તમે તેને કાયા ક્રમમાં ગુણાકાર કરો છો એ મહત્વનું નથી અને તે કોસાઈન ઠગીતા આજ રીતે દોરી શકાય સદિશ A નું મૂલ્ય જે સદિશ B ની દિશામા જાય છે અથવા B પાર સદિશ A નું પ્રક્ષેપણ માટે અહીં આ જે સદિશ છે એ સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં કોસાઈન ઓફ થિટા થાય અને તે બંને સમાન સંખ્યા થશે જો તમે સદિશ A સદિશ B ની દિશામા કેટલું જાયછે તેનું મૂલ્ય લો અને પછી તેનો ગુણાકાર સદિશ A ના મૂલ્ય સાથે કરો અથવા જો તમે સદિશ A લો સદિશ A એ સદિશ B ની દિશામા કેટલો જાય છે તેનું મૂલ્ય સોદો અને પછી તેનો ગુણાકાર સદિશ B સાથે કરો તે તમને તે બને સંખ્યા સમાન મળે હવે A B સાઈન થિટા શું થાય ? અહીં આ સદિશ A કૉસ થિટા છે માટે અહીં આ જે સૈદશ છે તે સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સાઈન થિટા થાય તમે કદાચ આ સાડીશન ઘાતક કઈ રીતે લાય શકાય તે તમે શીખી ગયા હસો તમે આને આ પ્રમાણે ફરીથી લખી શકો તેના બરાબર સદિશ A નું મૂલ્ય ગુણ્યાં સાઈન થિટા ગુણ્યાં સદિશ B નું મૂલ્ય ગુણ્યાં એકમ સદિશ N માટે જો તમે A સાઈન થિટા ગુણ્યાં B લો તો તમે એવો પ્રાશ પૂછી શકો કે A નો કયો ભાગ છે જે B ની જેમજ સમાન દિશામા જતો નથી A નો કયો ભાગ B ની સાથે સંપૂર્ણ રીતે લંબ છે સદિશ B સાથે કોઈ સમાનતા નથી તે સદિશ B થી જુદી દિશામાં જાય છે તેથી તમે આ સદિશ અને સદિશ B નો ગુણાકાર કરો તો તમને ત્રીજો સદિશ મળે અને તે સદિશ કહેશે કે આ બંને સદિશો કેટલા જુદા છે અને તે જુદી જુદી દિશામા જાય છે પરંતુ જયારે આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વડે ઉત્ત્પન થતું ટૉર્ક અથવ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વડે વિઘુતભર પર લગતા બળ વિશે વાત કરીયે ત્યારે આ ખુબજ અગત્યનો ખ્યાલ છે આ બધા એવા ખ્યાલ છે જેમાં બળની બીજા સદિશની સાથેની મહત્વની નથી પરંતુ બળની તેના લંબ સદિશ સાથેની દિશા મહત્વની છે તેથીજ ક્રોસ ગુણાકાર ઉપયોગી છે આસ છે કે તે તમને સમજાયું હશે તમે અહીં B સાઈન થિટા પણ લખી શકો અને તે B નો ઘાતક થશે જે સદિશ A ને લંબ થશે માટે B સાઈન થિટા કંઈક આ પ્રમાણે આવે અહીં આ B સાઈન થિટા છે તમે તેના ક્રમ બદલીને તેને વિચારી શકો અહીં આ સદિશ B નું મૂલ્ય છે જે સંપૂર્ણ રીતે A ને લંબ છે ત્યાર બાદ તમે તે બંનેનો ગુણાકાર કરો અને આ સદિશ N મેળવવા જેમાં હાથના નિયનો ઉપયોગ કરો લોકો ડાબા હાથણ ઉપયોગ પણ કરી શકે અથવા આની દિશા બીજી બે રીતે પણ શોધી શકે હવે પાછણ વિડીઓમાં જયારે સદિશનો તેના ઘાતક સ્વરૂપમાં આપ્યા હોયત્યારે ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકારની ગણતરી કઈ રીતે કરી શકાય તે જઈશું