સાદી સંભાવના: ભૂરી ન હોય તેવી લખોટી

સંભાવનાનો થોડું વધુ મહાવરો કરીએ આપણી પાસે થેલીમાં ૯ લાલ લખોટીઓ,૨ ભૂરી લખોટીઓ અને ૩ લીલી લખોટીઓ છે, થેલીમાંથી યાદ્યછીક રીતે ભૂરી ન હોય તેવી લખોટીઓ પસંદ કરવાની સંભાવના શું છે? અહીં થેલી દોરીએ, આ મારી થેલી છે અને આપણે અનુમાન લગાવવા જઈ રહ્યા છે કે તે પારદર્શક થેલી છે, તે ફૂલદાની જેવી દેખાઈ રહી છે પરંતુ આપણી પાસે ૯ લાલ લખોટીઓ છે તેથી મને લાલ લખોટીઓ દોરવા દો,૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯, ૨ ભૂરી લખોટીઓ છે, આ એક ભૂરી લખોટી અને આ એક ભૂરી લખોટી, ત્રણ લીલી લખોટીઓ છે, ૧ ,૨ અને ૩ , થેલીમાંથી યાદ્યછીક રીતે ભૂરી ન હોય તેવી લખોટીઓ પસંદ કરવાની સંભાવના શું છે? આપણે બધાને ભેગા કરી દીધા અને આપણી પાસે તેમાંના કોઈપણને પસંદ કરવાની સમાન સંભાવના છે અને તમે હમણાં જ વિ૪્યું એ રીતે બધી શક્ય ઘટનાઓમાં કયો ભાગ આપણી ઘટનાને સંતોષે છે? તેથી સૌપ્રથમ બધી શક્ય ઘટનાઓ વિશે વિચારીએએ આપણે કેટલા અલગ પ્રકારની લખોટીઓ લઈ શકીએ તે ફક્ત લખોટીઓની કુલ સંખ્યા છે ૧,૨,૩,૪,૫,૬,૭,૮,૯,૧૦,૧૧,૧૨,૧૩,અને ૧૪ શક્ય લખોટીઓ, આ શક્યતાઓની સંખ્યા છે ૧૪, શક્યતાઓની સંખ્યા અને પછી આપણે ફક્ત એ જ વિ૪વાનું છે કે તે શક્યતાઓનો કયો ભાગ આપણી ઘટનાને સંતોષે છે? અને ૧૪ મેળવવાની બીજી રીતે એ ફક્ત ૯ + ૨ + ૩ લેવું છે તેથી તે શક્યતાઓની કેટલી સંખ્યા આપણી ઘટનાને સંતોષે છે યાદ રાખવું કે આપણી ઘટના છે થેલીમાંથી ભૂરા ન હોય તેવી લખોટીઓને પસંદ કરવાની છે બીજી રીતે વિચારીએએ તો તે લાલ અથવા લીલી લખોટીઓ છે કારણ કે આપણી પાસે બીજા રંગો લાલ અને લીલા છે થેલીમાંથી ભૂરી ન હોય તેવી લખોટીઓ કેટલી છે?અહીં વિ૪વા માટેની બીજી રીતો છે, તમે કહી શકો કે ત્યાં કુલ ૧૪ લખોટીઓ છે અને ૨ ભૂરી છે, ૧૪ - ૨ થશે જે ૧૨ ભૂરી ન હોય તેવી લખોટીઓ છે અથવા તમે તેને ગણી શકો ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ ૧૦ ૧૧ અને ૧૨ તેથી આ શક્યતાઓ આપણી ઘટનાને સંતોષે છે ના છેદમાં બધી શક્યતાઓ તેથી 12 ભૂરી ન હોય તેવી સંખ્યા આ સરળ રૂપમાં નથી અહીં ૧૨ અને ૧૪ બંનેને ૨ વડે ભાગી શકાય છે છેદ અને અંશ બંનેને ૨ વડે ભાગીએ તો તમને ૬ છેદમાં ૭ મળે આપણી પાસે થેલીમાંથી ભૂરી ન હોય તેવી લખોટીઓ પસંદ કરવાની તક ૬ ના છેદમાં ૭ છે હવે બીજો એક મહાવરો કરીએ જો નીચે આપેલી યાદીમાંથી સંખ્યા યાદ્યછીક રીતે પસંદ કરી હોય તો તે સંખ્યા ૫ ની ગુણિત હશે તેની સંભાવના શું છે? ફરીથી આપણે કુલ શક્યતાઓમાંથી ભાગ શોધવા માંગે છે જે આપણે ઘટનાને સંતોષે છે આપણી મર્યાદા એ પાંચ નો ગુણીત છે તેથી ત્યાં કોઈ કેટલી શક્યતાઓ છે તેના વિશે વિચારીએએ તે કુલ સંખ્યા છે જેમાંથી આપણે પસંદ કરવાનું છે ત્યાં ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ ૧૦ ૧૧ અને ૧૨ ત્યાં ૧૨ શક્યતાઓ છે એટલે ૧૨, શક્યતાઓની સંખ્યા આપણી પાસે આ ૧૨ માંથી કોઈ પણ પસંદ કરવાની સમાન તકો છે હવે આ ૧૨ માંથી કયા પાંચ ના ગુણિત છે ૩૨ એ પાંચ નો ગુણીત નથી, ૪૯ એ પણ પાંચ નો ગુણીત નથી, ૫૫ એ પાંચ નો ગુણીત છે આપણે એવી સંખ્યાને શોધી રહ્યા છીએ જેના એકમમાં તમારી પાસે પાંચ અથવા શૂન્ય હોય , ૫૫ એ ૫ નો ગુણિત છે, ૩૦ એ ૫ નો ગુણિત છે, ૬ ગુણ્યા ૫ છે અને ૫૫ એ ૧૧ ગુણ્યાં પાંચ છે ૫૬ નથી ,૨૮ નથી આ સ્પષ્ટપણે પાંચ ગુણ્યા ૧૦ છે આ ૮ ગુણ્યા ૫ છે અને ફરીથી સમાન સંખ્યા ૮ ગુણ્યા ૫ ,૪૫ એ ૯ ગુણ્યા ૫ છે ૩ નથી અને ૨૫ એ ૫ ગુણ્યાં ૫ છે તેથી મેં બધા ૫ ના ગુણીતો ફરતે ગોળ કર્યું છે તેથી બધી શક્યતાઓ માંથી જે આપણે પાંચ ના ગુણિત હોવાની ઘટનાને સંતોષે છે તે શક્યતાઓ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ અને ૭ છે, ૭, જે ઘટનાને સંતોષે છે આ ઉદાહરણમાં પાંચ ના ગુણિતને પસંદ કરવાની સંભાવના ૭ ના છેદમાં ૧૨ છે હવે બીજું કરીએ વર્તુળનો પરિઘ ૩૬ પાય છે, હવે વર્તુળ દોરીએ,હું વર્તુળ દોરવા માટેની શ્રેષ્ઠ કોશિશ કરી રહી છું, વર્તુળ કંઈક આવું દેખાય છે તેનો પરિઘ જેને આપણે c કહીશું તે ૩૬ પાય છે પછી તેઓ કહે છે કે આ વર્તુળની અંદર એક નાનું વર્તુળ સમાયેલું છે જેનું ક્ષેત્રફળ ૧૬ પાય છે મોટા વર્તુળની અંદર આપણી પાસે એક નાનું વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ જેની આપણે a કહીશું ૧૬ પાય છે મોટા વર્તુળની અંદર યાદચ્છિક રીતે બિંદુ પસંદ કરેલ છે તેથી આપણી પાસે આ મોટા વર્તુળની અંદર કોઈ બિંદુ યાદ્યછીક રીતે પસંદ કરેલું છે તે બિંદુના નાના વર્તુળોમાં પણ હોવાની સંભાવના શું છે? આ અહીં થોડું રસપ્રદ છે કારણ કે તમારી પાસે આ બંને વર્તુળોમાં ખરેખર અસંખ્ય બિંદુઓ છે કારણ કે તે આપણે પહેલા ઉદાહરણમાં જોયું તે પ્રમાણે જુદી લખોટી કે દડો નથી તેથી અહીં લઈ શકું તેવા અસંખ્ય બિંદુઓ છે આપણે જ્યારે બિંદુની નાના વર્તુળમાં સમાવેશના સંભાવનાની વાત કરી રહ્યા હોઈએ આપણે ખરેખર મોટા વર્તુળના બિંદુઓ જે નાના વર્તુળમાં પણ છે કે તેના ટકા વિષે વિચારીએ રહ્યા છીએ અથવા બીજી રીતે વિચારીએએ તો જો આપણે મોટા વર્તુળમાંથી બિંદુ લઈએ તો તે કદાચ નાના વર્તુળમાં પણ હોય તે ખરેખર મોટા વર્તુળના ટકા એ નાના વર્તુળ બરાબર થશે હું જાણું છું કે તું થોડું અટપટું લાગે પણ આપણે ખરેખર તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે અને તેમના ગુણોત્તર જેટલું જ તે હશે તેના વિશે વિચારીએએ અહીં આપણે 36 પાયના પરિઘનો ઉપયોગ કરવાનો છે પણ આપણે યાદ રાખવું પડશે કે આ વર્તુળનો પરિઘ છે અને આપણે બંને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની જરૂર છે અને ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે ત્રિજયા જાળવવાની જરૂર છે કારણ કે શેત્રફળ એ પાય ગુણ્યાં ત્રિજ્યાનો વર્ગ છે આપણે પરિઘ પરથી ત્રિજ્યા શોધી શકીએ, પરિઘ એ ૨ ગુણ્યાં પાય ગુણ્યાં ત્રિજ્યા બરાબર છે અથવા તમે કહી શકો કે પરિઘ એટલે કે ૩૬ પાય એ ૨ ગુણ્યાં પાય ગુણ્યાં ત્રિજ્યા બરાબર છે આપણે બંને બાજુ બે પાય વડે ભાગી શકીએ ડાબી બાજુએ ૩૬ ભાગ્યા ૨ એટલે કે ૧૮ અને પાય પાય રદ્દ થઇ જશે આ બાજુ પણ બે પાય રદ્દ થઇ જશે આપણને મોટા વર્તૂળ માટે r એટલે કે ત્રિજ્યા બરાબર ૧૮ મળે તેથી જો આપણે તેનું ક્ષેત્રફળ જાણવા માંગતા હોઈએ તો તે પાય ગુણ્યાં ત્રિજ્યાનો વર્ગ એટલે કે પાય ગુણ્યાં અઢારનો વર્ગ બરાબર થશે, અઢારનો વર્ગ શું થાય તે જોડીએ ,૧૮ ગુણ્યાં ૧૮ ,૦, ૮ ગુણ્યાં ૧ , ૮ અને ૧ ગુણ્યાં ૧ એ ૧, ૮ ગુણ્યાં ૮ એટલે કે ૪ વર્દી ૬, ૬૪, ૮ એકા ૮ અને ૬,૧૪,૪, ૮ ને ૨,૧૨ વર્દી ૧,૧ ને ૧ ૨ ને ૧ ૩ એટલે કે ૩૨૪ તે ૩૨૪ છે, ક્ષેત્રફળ ૩૨૪ ગુણ્યા પાય છે અથવા આપણે તેને ૩૨૪ પાય કહી શકીએ આ આખા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ જેને મેં પીળા રંગથી રેખાંકિત કર્યું છે જેમાં નાના વર્તુળનો પણ સમાવેશ થાય છે,જો તમે તેને આ રીતે જોવા માંગતા હોય તો તે ક્ષેત્રફળ ૩૨૪ પાય છે તેથી આપણે મોટા વર્તુળમાં જે બિંદુ પસંદ કર્યું તે નાના વર્તુળમાં પણ હોય તેની સંભાવના એ મોટા વર્તુળના ટકા જે નાનું વર્તુળ છે તેથી નાના વર્તુળમાં બિંદુ હોવાની સંભાવના એ મોટા વર્તુળના ટકા જે આ નાનું પણ છે અથવા આપણે કહી શકીએ કે મોટા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ભાગ જે નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે, ૧૬ પાયના છેદમાં ૩૨૪ પાય થશે અહીં પાય પાય રદ્દ થઈ જશે અને એવું લાગે છે કે આ બંનેને ૪ વડે ભાગી શકાય જો આપણે અંશને ૪ વડે ભાગીએ તો આપણને ૪ મળે અને જો આપણે છેદને ૪ વડે ભાગીએ તો આપણને શું મળે? ૪ ગુણ્યાં ૮૦ એ ૩૨૦ થશે અને ૪ ગુણ્યાં ૧ એ ૪ થશે તેથી આપણી પાસે ૮૧ મળે તેથી મોટા વર્તુળમાંથી યાદચ્છિક રીતે બિંદુ પસંદ કરવાની સંભાવના જેનું નાના વર્તુળમાં પણ સમાવેશ થાય છે એ તેમના ક્ષેત્રફળોના ગુણોત્તર છે નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ અને મોટા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર અને તે ૪ ના છેદમાં ૮૧ છે હું અનુમાન કરું છું કે આ તે કહેવા માટેની સૌથી શ્રેષ્ઠ રીત