સાબિતી: અનંત પ્લેટ પરથી ક્ષેત્ર (ભાગ 2)

આપણી પાસે સમાન રીતે વિદ્યુત ભારિત અનંત સમતલ છે વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા સિગ્મા છે. આપણે આ વિદ્યુતભારિત પ્લેટથી h જેટલા અંતરે આ સપાટીની ઉપર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર લીધો. હવે આ બિંદુ જે જગ્યાએ છે તેની તદ્દન નીચેના બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઇ r જેટલા અંતરે આવેલી આ રિંગ વડે ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત ક્ષેત્ર આપણે શોધ્યું અને આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા કે બધા જ સમક્ષિતિજ ઘટક અથવા x ઘટક કેન્સલ થાય છે જેના કારણે આપણે ફક્ત y ઘટક પર જ ધ્યાન આપીશું. તેથી આપણે અગાઉના વિડિઓમાં આ સપાટીથી h જેટલી ઊંચાઇએ આવેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર પર આ રિંગ વડે ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનો y ઘટક શોધ્યો હતો. જે આ છે. y ઘટક આ પ્રમાણે છે હવે જોઈએ કે આપણે r બરાબર ઇન્ફીનિટી થી r બરાબર ઝીરો સુધીની બધી જ રીંગ નો સરવાળો કરીને કુલ y ઘટક શોધી શકીએ કે નહિ માટે આપણે હવે તે જોઈએ. આપણે ફરીથી સમતલ દોરીએ ધારો કે અહીં આ મારો સમતલ છે કંઈક આ પ્રમાણે જે દરેક દિશામાં જાય છે મારી પાસે અનંત સમતલ છે જે દરેક દિશામાં વિસ્તરેલું છે મારી પાસે આ સમતલની ઉપર એક બિંદુ છે અને હું તે બિંદુ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શોધવા માંગુ છું. આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉપરની દિશામાં જાય છે તેથી આપણે ફક્ત y ઘટક પર જ ધ્યાન આપીશું.હવે આ બિંદુ સમતલથી h જેટલી ઊંચાઇએ છે અને આપણે આ બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઈને r ત્રિજીયા જેટલી એક રિંગ બનાવી. ત્રિજ્યા r અને આ રિંગ વડે આ બિંદુ આગળ ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત ક્ષેત્ર શોધ્યું અને આ વિદ્યુતક્ષેત્રનો y ઘટક શું હતો? તે આ હતો અને હવે આપણે સંકલિત લઈશું . જેથી આપણને આ પ્લેટ વડે ઉત્પન્ન થતું ફુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર મળે માટે e બરાબર r બરાબર ઝીરો થી r બરાબર ઇન્ફીનિટી સુધીના સંકલિતમાં r બરાબર ઇન્ફીનિટી સુધીની બધી જ રિંગનો સરવાળો લઈશું કારણ કે આપણે હવે આ આખા સમતલ વડે ઉત્પન્ન થતી અસર શોધી રહ્યા છીએ દરેક રિંગ વડે ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનો y ઘટક આ છે તેથી આપણે હવે આ સીમા આગળ તેનો સરવાળો કરીશું.kh 2 પાય સિગ્મા r dr તે આખાના છેદમાં h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ આખાની 3 ના છેદમાં 2 ઘાત. આપણે તેને થોડું સાદુ રૂપ આપીએ,કેટલાક અચલને સંકલિતની બહાર લખીએ. આપણે અહીં kh પાય અને સિગ્માને સંકલિતની બહાર લખીશું. કારણ કે તેઓ અચળ છે. આપણે 2 ને સંકલિતની અંદર જ રાખીશું અને તેનું કારણ શું છે?તે હું તમને થોડીવારમાં જણાવીશ.બરાબર k h પાય સિગ્મા r બરાબર ઝીરો થી r બરાબર ઇન્ફીનિટી સુધીના સંકલિતમાં આપણી પાસે શું બાકી રહે? અંશમાં 2r , d r બાકી રહે અને પછી છેદમાં h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ આખાની 3 ના છેદમાં 2 ઘાત બાકી રહે.હવે આનો પ્રતિવિકલીત શું થાય? આપણે અહીં રિવર્સ ચેઇનરોલનો ઉપયોગ કરી શકીએ અથવા જો તમે યુસબસ્ટિટ્યૂટથી પરિચિત હોવ તો આપણે તેનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ.આપણે અહીં u બરાબર h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ લઈએ. હવે r ની સાપેક્ષમાં u નું વિકલીત લઈએ. du ના છેદમાં dr બરાબર અહીં h નો વર્ગ અચળ છે માટે તેનું વિકલીત ઝીરો થઈ જશે અને r ના વર્ગનું વિકલીત 2r થાય. તેથી du બરાબર 2rdr હવે આપણે આ બધાની કિંમત સંકલિતમાં મૂકીશું. સંકલિતને પાછો લખીએ. 2 r d r ના છેદમાં h નો વર્ગ + r નો વર્ગ આખાની 3 ના છેદમાં 2 ઘાત આના બરાબર સંકલિત માં 2 r d r ની જગ્યાએ du લખીશું du ભાગ્યાં h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ u થશે માટે u ની 3 ના છેદમાં 2 ઘાત બરાબર સંકલિતમાં u ની - 3 ના છેદમાં 3 ઘાત du હવે આનો પ્રતિવિકલીત શોધવું સરળ છે.આના બરાબર - 2u ની -3 ના છેદમાં 2 + 1 ઘાત જે -1 ના છેદમાં 2 થશે. તમે આને ચકાસી પણ શકો.જો તમે આનો વિકલીત લેશો તો આ ઘાતાંક આગળ આવી જાય અને જેની કિંમત 1 થાય અને પછી આ ઘાતાંકમાંથી 1 બાદ કરીએ તો આપણને u ની -3 ના છેદમાં 2 ઘાત મળે. હવે હું અહીં + c લખી શકું પરંતુ આ નિયત સંકલિત છે.તેથી બધા જ c કેન્સલ થઇ જશે. હવે આપણે અહીં u ની કિંમત પાછી મૂકીએ. તેથી - 2 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ. મેં અહીં ગુલાબી ભાગમાં જે કર્યું છે તે ફક્ત આ ભાગનું પ્રતિવિકલીત છે. તેના બરાબર -2 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં h નો વર્ગ વત્તા r નો વર્ગ મળે. હવે આપણે આ સંકલિતની કિંમત શું થાય? તે શોધીએ. આપણે આને ફરીથી લખીએ. તેના બરાબર kh પાય સિગ્મા હવે હું અહીં -2 ને બહાર લખીશ ગુણ્યા - 2 હવે આ પ્રતિવિકલીતને બંને સીમાઓ આગળ ઉકેલીએ.1 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં h નો વર્ગ + r નો વર્ગ તેને ઇન્ફીનિટી આગળ ઉકેલીએ અને પછી ઝીરો આગળ ઉકેલીને તેમાંથી બાદ કરીએ. હવે જો આપણે તેને ઇન્ફીનિટી આગળ ઉકેલીએ એટલે કે r બરાબર ઇન્ફીનિટી લઈએ તો શું થાય? ઇન્ફીનિટીનો વર્ગ ઇન્ફીનિટી થશે અને પછી તેમાં કોઈપણ પદ ઉમેરીએ તો આપણને ઇન્ફીનિટી જ મળે.તેનું વર્ગમૂળ પણ ઇન્ફીનિટી જ થાય અને 1 ના છેદમાં ઇન્ફીનિટી બરાબર ઝીરો.માટે અહીં આ ઝીરો થશે.હવે તેને ઝીરો આગળ ઉકેલીએ.જયારે r બરાબર 0 લઈએ ત્યારે આપણને 1 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં hનો વર્ગ મળશે. હવે આગળનો ભાગ લખીએ -2 k ગુણ્યાં h ગુણ્યાં પાય ગુણ્યા સિગ્મા ગુણ્યા ઝીરો ઓછા 1 ના છેદમાં વર્ગમૂળ માં h નો વર્ગ.આના બરાબર - 2 k ગુણ્યાં h ગુણ્યાં પાય ગુણ્યાં સિગ્મા. આ ભાગનું સાદુંરૂપ શું થાય? 1 ના છેદમાં વર્ગમૂળ માં h નો વર્ગ h જ થશે અને પછી આ minus ની નિશાની તેથી ગુણ્યા -1 ના છેદમાં h અને આ minus અને આ minus કેન્સલ થઈ જશે ત્યારબાદ આ h અને આ h પણ કેન્સલ થઈ જશે અને આપણી પાસે ફક્ત 2 k પાય સિગ્મા બાકી રહે. અહીં આ આપણો જવાબ છે. આમ અહીં સમાન રીતે વિદ્યુત ભારિત અનંત પ્લેટ વડે આ 2 વિદ્યુતભાર પર ઉત્પન્ન થતું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર આ થશે જ્યાં સિગ્મા એ વિદ્યુત ભારની પૃષ્ઠઘનતા છે.હવે તમે અહીં જોઈ શકો કે અહીં આ સૂત્રમાં h નથી તેનો અર્થ એ થાય કે આપણે બિંદુવત વિદ્યુતભાર આ સમતલની ઉપર કોઈપણ જગ્યાએ મૂકીએ તો તેના પર ઉત્પન્ન થતું પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઊંચાઈ પર આધાર રાખતું નથી અને તેનો અર્થ એ થાય કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અચલ છે. આપણે પ્લેટની ઉપર કોઈપણ જગ્યાએ હોઈ શકીએ અને ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન રહે અને તેના કારણે બળ પણ સમાન રહે વિદ્યુત ક્ષેત્ર નું મૂલ્ય અથવા વિદ્યુત ક્ષેત્રની પ્રબળતા ફક્ત આ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા પર આધાર રાખે. તમે અહીં જોઈ શકો કે આ 2 પાય અચળ છે અને આ k એ કુલંબનો અચળાંક છે માટે આનું મૂલ્ય ફક્ત સિગ્મા પર આધાર રાખે.આમ આપણે આ વિડિઓમાં શીખ્યા કે જો આપણી પાસે સમાન રીતે વિદ્યુત ભારિત અનંત સમતલ હોય અને હું એ તે સમતલથી h એકમ જેટલી ઊંચાઈ આગળ વિદ્યુતભાર મુકું તો આ ઊંચાઈ મહત્વની નથી.હું અહીં પણ હોઈ શકું. અહીં પણ હોઈ શકું અને અહીં પણ હોઈ શકું અને આ બધા બિંદુઓ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્રની પ્રબળતા સમાન હશે અને આપણે જે છેલ્લા 2 વિડિઓમાં કરી ગયા તેના પરથી તમને વિશ્વાસ થઈ ગયો હશે કે નિયમિત વિદ્યુતક્ષેત્ર નામની વસ્તુ હોય છે અને તે 2 સમાંતર પ્લેટની વચ્ચે ઉદ્ભવે છે.