કળા અચળાંક

ધારોકે તમારી પાસે સ્પ્રિંગ સાથે બાંધેલો એક દળ છે અને આ સ્પ્રિંગને છત સાથે બાંધવામાં આવી છે હવે જો તમે આ દળને કિક મારશો તો તે ડોલનો કરશે. તેનીચેની તરફ પછી ઉપરની તરફ ડોલનો કરે.નીચેની તરફ પછી ઉપરની તરફ ડોલનો કરે પરંતુ જો હું આ બધા ડોલનોને દર્શાવું તો આ બધી આકૃતિ એકબીજાની ઉપર ઓવરલેપ થઈ જશે અને તે થોડું જટિલ લાગશે માટે આપણે તેને અહીંથી દૂર કરીએ અને આ પ્રમાણે દર્શાવીએ અહીં સેકન્ડના દરેક ચોથા ભાગે દળનું સ્થાન ક્યાં હશે તે મેં દર્શાવ્યું છે આપણે અહીંથી શરૂઆત કરીએ છીએ સેકન્ડના બીજા ચોથા ભાગ પછી તે અહીં હશે આ બધા એક જ દળ છે.આપણે તેની ફોટો લીધી છે અને આપણે આ દરેક ફોટોને એકબીજાની બાજુમાં રાખીને ખસેડીએ છીએ જો તમે દરેક બિંદુઓને જોડો તો તમને અહીં આ પ્રકારનો આલેખ મળશે તેનો આલેખ કંઈક આ રીતે દેખાશે અહીં આપણને સમયના વિધેય તરીકે આ દળની ઊંચાઈ મળે છે.સમયના વિધેય તરીકે દળની ઊંચાઈ. જો આપણે તેને સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના આલેખમાં દર્શાવીએ તે અહીં મધ્યથી શરૂ થાય છે મધ્યથી શરૂ થશે ત્યારબાદ ઉપર જઈને નીચે આવશે અને પછી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહેશે અને તે કંઇક આ પ્રકારનું દેખાય અને આપણે જાણીએ છીએ કે અહીં આ sin વિધેયનો આલેખ છે પરંતુ અહીં મારો એક પ્રશ્ન છે આપણે મધ્યથી શરૂઆત કરતા નથી હવે આપણે તેને ઉપરની તરફ કિક મારતાં નથી t = 0 સમયે આપણે અહીં ટોચથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને પછી તેને નીચે પડવા દઈએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો હવે આપણે કંઈક આવું કરીએ છીએ આપણે અહીં ટોચથી શરૂઆત કરીએ છીએ જો આપણે આ પ્રમાણે કરીએ તો તેનો આલેખ કંઈક આ રીતે દેખાશે જો આપણે ટોચથી શરૂઆત કરીએ તો આલેખ કંઈક આ રીતનો દેખાય જો આપણે આ આલેખને અહીં દર્શાવીએ તો તે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે તે કંઈક આ રીતનો આવશે. ન્યૂનતમ બિંદુ ત્યારબાદ આ પ્રમાણે ઉપર જશે અહીં આ મહત્તમબિંદુ અને તે કંઈક આ રીતે આવશે. કંઈક આ પ્રમાણે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે શું આ બંને આલેખ સમાન છે? કે તેઓ જુદા જુદા છે આ બંને આલેખ જુદા જુદા છે પરંતુ બાકીનું લગભગ બધું જ સમાન છે તેમનો કંપવિસ્તાર સમાન છે સંતુલિત સ્થિતિથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન છે અને તે કંપવિસ્તાર થશે તેમનો કંપવિસ્તાર સમાન છે તેમનો આવર્તકાળ પણ સમાન છે આવર્તકાળ એ બે ડોલનો વચ્ચેનો સમય છે આ પ્રમાણે અને અહીં તેમનો આવર્તકાળ પણ સમાન છે કંઈક આ પ્રમાણે અહીં ફક્ત એટલો જ તફાવત છે કે એક આલેખ બીજાની સરખામણીમાં ખસેલો છે જો તમે આ લીલા આલેખને ખસાડીને ગુલાબી આલેખ પર મૂકશો તો તમને સમાન આલેખ મળશે ફક્ત એક આલેખને ખસેડેલો છે અને ભૌતિક શાસ્ત્રીઓ આ માટે એક શબ્દ વાપરે છે જેમાં એક આલેખને ખસાડેલો હોય છે અને તે પાછળનો ખ્યાલ, કળા એટલે ફેસ છે આટલું shift થયો છે મેં અહીં પરિભ્રમણના ચોથા ભાગ માટે દોર્યું છે હવે જો તમે એકમ વર્તુળ વિશે વિચારો અહીં આ એકમ વર્તુળ છે તો પરિભ્રમણનો ચોથો ભાગ આટલો થશે જે 90 ડિગ્રી અથવા પાય બાય 2 રેડિઅન થાય તેથી આ બંને આલેખો વચ્ચેની કળા 90 ડિગ્રી અથવા પાય બાય 2 રેડિઅન છે તો હવે આપણે કળાને ગાણિતિક રીતે કઈ રીતે દર્શાવી શકીએ? આપણે આ લીલા રંગના ડોલક માટે સમીકરણ લખવાનો પ્રયત્ન કરીએ y of t = સમયના વિધેય તરીકે આ ડોલકની ઊંચાઈ તેના = કંપવિસ્તાર a હવે અહીં આ આલેખ t = 0 થી શરૂ થાય છે માટે આપણે અહિં sin લખીશું કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે sin ની શરૂઆત 0 થી થાય છે ત્યારબાદ 2 પાયના છેદમાં આવર્તકાળ અહીં તેનો આવર્તકાળ આ થશે ગુણ્યાં t અહીં t એ ચલ છે અને તે તે ક્ષણનો ચલ દર્શાવે છે હવે આ સમીકરણ કામ કરે છે કે નહીં તે જોઈએ જો આપણે t = 0 થી શરૂઆત કરીએ આપણે અહીં કિંમત 0 મૂકીએ તો sin of 0 = 0 થશે માટે આ આખી જ બાબત 0 થશે તેથી આપણે આ બિંદુ પર હોઈશું ત્યારબાદ t એ ધીરે ધીરે વધવાની શરૂઆત કરે છે અને અંદરનું પદ પણ ધીરે ધીરે વધશે અને ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યાનું sin લઈએ તો આપણને ખૂબ જ નાની ધન સંખ્યા મળે માટે આલેખ વધવાનું શરૂ કરે છે અને ત્યારબાદ તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે. હવે તેની મહત્તમ ઉંચાઇ ક્યારે મળે? તે જ્યારે પરિભ્રમણનો ચોથો ભાગ પૂરો કરશે ત્યારે અહીં પહોંચશે અહીં આ એક આખું પરિભ્રમણ છે તેથી આ પરિભ્રમણનો ચોથો ભાગ થાય તે 0 થી શરૂ કરીને તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી T ના છેદમાં 4 સેકન્ડે પહોંચે કારણ કે તે પરિભ્રમણનો ચોથો ભાગ દર્શાવે છે હવે જો આપણે t ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ તો તે સાબિત થશે માટે sin of 2 પાય ના છેદમાં t ગુણ્યાં t ના છેદમાં 4 આ t કેન્સલ થઈ જશે અને આપણને sin of 2 પાયના છેદમાં 4 એટલે કે sin of પાય by 2 મળે. અને તેના બરાબર 1 થાય sin નું મહત્તમ મૂલ્ય 1 છે 1 ગુણ્યાં કંપવિસ્તાર કરીએ તો આપણને અહીં કંપવિસ્તાર મળે જે આ ડોલકની ઊંચાઈ છે અને તે મહત્તમ બિંદુ છે આમ આ સમીકરણ કોઈપણ સમયે આ ડોલકની ઊંચાઈ આપશે હવે આપણે આ ગુલાબી ડોલક મેળવવા અહીં શું ફેરફાર કરી શકીએ? તે ખૂબ જ સરળ છે આપણે sin ની જગ્યાએ cosin લઈએ આ ઉદાહરણ માટે cosin કામ કરશે પરંતુ ધારો કે તે પરિભ્રમણના ચોથા ભાગ જેટલું નથી ખસ્યું તે પરિભ્રમણના 9 માં ભાગ જેટલું ખસ્યું છે તો આપણે અહીં cosin નો ઉપયોગ કરી શકીએ નહીં આપણે તેને વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ માટે આપણે અહીં કળા અચળાંક એટલે કે face constant નો ઉપયોગ કરીશું પરંતુ આપણે તે અચલાંકને ક્યાં મૂકીશું? આપણે આ લીલા આલેખને લઈએ અને આપણે તેને ડાબીબાજુએ ખસેડવા માગીએ છીએ માટે તમે કદાચ કહેશો કે આપણે કોઈ કિંમતને બાદ કરવી પડશે પરંતુ તે કામ કરશે નહીં તમે આ આખા આલેખમાંથી એટલે કે આ આલેખની ઊંચાઈની કિંમતમાંથી તેને બાદ કરી રહ્યા છો જો તમે આ પ્રમાણે કરશો તો તમારો આલેખ નીચેની તરફ શિફ્ટ થશે હવે જો તમે આ B ની કિંમતને ઉમેરો તો તે તમારા આલેખને ઉપરની તરફ શિફ્ટ કરશે માટે આપણે અહીં આ B ઉપયોગી નથી તે આપણા આલેખને ડાબીબાજુએ કે જમણીબાજુએ ખસેડતું નથી. જો તમારે તમારા આલેખને ડાબીબાજુએ કે જમણીબાજુએ ખસેડવો હોય તો તમારે આ sin ના કોર્નાકમાં અચળ જ ઉમેરવો પડે માટે હવે આપણે આપણા ગુલાબી ડોલકને દર્શાવી શકીએ y of t બરાબર સમાન કંપવિસ્તાર. આપણે sin નો જ ઉપયોગ કરીશું. 2 પાય ના છેદમાં T ગુણ્યાં t હવે તમે અહીં કળા અચળાંકને ઉમેરી શકો આપણે અચળાંકને ઉમેરીશું પરંતુ તમને થશે કે મારે તેને બાદ કરવો જોઈએ કારણ કે આપણે આલેખને ડાબી બાજુએ ખસેડી રહ્યા છીએ પરંતુ કળા અચલાંકને ઉમેરવામાં આવે તો આપણો આલેખ ડાબીબાજુએ શિફ્ટ થશે અને તેને યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વનું છે હવે તમે કહેશો કે કળા અચળાંકને ઉમેરવામાં આવે તો તે આપણા આલેખને ડાબીબાજુ કઈ રીતે શિફ્ટ કરશે? આપણે કળા એટલે ફેસને સામાન્ય રીતે ફાઈ વડે દર્શાવીએ છીએ હવે તમે અહીં આ સમીકરણ મૂકો હવે તમે અહીં આ સમીકરણ લો અને આપણે આ ઉદાહરણમાં ફાઈની કિંમત જાણીએ છીએ તે મુકો અહીં આ ઉદાહરણમાં ફાઈની કિંમત 90ડિગ્રી અથવા પાય by 2 રેડિઅન છે હવે આપણે જોઈએ કે આ સમીકરણ કામ કરે છે કે નહીં? અહીં તેની શરૂઆત 0 થી થાય છે પરંતુ આ ગુલાબી ડોલક માટે તેની શરૂઆત મહત્તમ મૂલ્યથી થાય છે માટે t = 0 સમયે અહીં આ પદ 0 થઈ જશે અને આપણી પાસે sin of પાય by 2 બાકી રહેશે જેના બરાબર 1 થાય ત્યારબાદ a ગુણ્યાં 1 આપણને a જ મળશે એટલે કે t = 0 સમયે તેની કિંમત મહત્તમ હશે અને આપણે મહત્તમ કિંમતથી શરૂ કરવા ઇચ્છતા હતા હવે તેને પાયના છેદમાં 4 વડે ખસેડ્યો હોય પાયના છેદમાં 9 વડે અથવા પાયના છેદમાં 27 વડે ખસેડ્યો હોય પરંતુ તમે sin અને cosin નો ઉપયોગ કરી શકો પરંતુ યાદ રાખો કે કળા અચલાંકને ઉમેરવાથી તે ડાબીબાજુએ શિફ્ટ થશે કળા અચલાંકને બાદ કરવાથી તે જમણીબાજુએ શિફ્ટ થશે અને જો કળા અચલાંક મોટો હોય તેટલું જ તે વધારે શિફ્ટ થાય તમારે 2 પાય કરતા વધારે શિફ્ટ કરવાની જરૂર નથી કારણ કે 2 પાય પછી તમને તે આકાર ફરીથી મળશે આમ અહીં આ કળા અચલાંક છે હવે જો આપણે સૂત્રને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ તો y of t = a ગુણ્યાં sin of 2 પાય ના છેદમાં T ગુણ્યાં t + ફાઈ. આ ફાઇની કિંમત નક્કી કરશે કે આલેખ જમણીબાજુ ખસે છે કે ડાબીબાજુ અમુકવાર આ કળાનો અર્થ ફક્ત આટલો જ ભાગ થશે પરંતુ ઘણીવાર આ કળાનો અર્થ આ આખો ભાગ થાય છે sin વિધેયની અંદર તમે જે કંઈ પણ લો છો તેને કળા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે આના પરથી જ તમે નક્કી કરી શકશો કે તમે પરિભ્રમણમાં કઈ જગ્યાએ છો તમે આ સમીકરણ ફક્ત સ્પ્રિંગ પરના દળ માટે જ નહીં પરંતુ તરંગ માટે પણ લખી શકો તેમાં અહીં સમયની જગ્યાએ અવકાશ હશે અને અહીં અંતે પછી તમે એક અચલાંકને ઉમેરી શકો તે કળા અચળાંક છે આમ એકબીજાની સાપેક્ષે 2 ડોલકો અથવા 2 તરંગો કેટલા શિફ્ટ થયેલા છે? તે આપણે કળા વડે નક્કી કરી શકીએ.