વિસ્તૃત પદાર્થના કોણીય વેગમાન

આપણે અગાઉના વિડીઓમાં જોય ગયા કે M ઠરાવતો બોલ R જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં V જેટલા પરિભ્રમણ કરે છે અને આ બોલ અમુક કોણીય વેગમાં ધરાવે છે કોણીય વેગમાં એટલેક એન્ગ્યુલર મોમેન્ટમાંને કેપિટલ L વડે દર્શાવી શકાય અને કોણીય વેગમાં બરાબર બોલનું દળ ગુણ્યાં બોલનું વેગ આ ફક્ત વેગમાનનું મૂલ્ય આપશે અને પછી તે જે વર્તુળમાં ગતિ કરઈ રહ્યો છે આપણે તેની ત્રિજ્યા સતાહૈ ગુણીયે અને આ કોણીય વેગમાન થશે આ જાણવું સારી બાબત છે પરંતુ જો તમારી પાસે વર્તુળમાં ગતિ કરતો બોલ ન હોય અનેત અમે કોણીય વેગમાન જાણવા માંગો એટલકે તમારી પાસે હવે આ પરિસ્થિતિની જગ્યાએ આ પરિસ્થિતિ છે તમારી પાસે બોલાની જગ્યાએ તમારી પાસે રોડ છે અહીં M દળ ઠરાવો રોડ R જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમા પરિભ્રમણ કરે છે અને આ રોડની બહારની બાજુઓ વેગ V છે જે પરમને બોલનો હતો તો મારો પ્રશ્ન એ છે કે શું આ કોણીય વેગમાન MVR જેટલું જ હશે ન તે આને સામંજ ન હશે કારણકે જો આપણે બોલ વિશે વિચારીયે તો અહીં આ આંખ બોલનું વેગ V જેટલો હતો અને જયારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હતો ત્યારે તેનું આંખુ દળ આ બાહની ઢાલ પર હતું તેનો અર્થ એ થાય કે આ આખું દળ R જેટલા ત્રીજા વાળા વર્તુળની ફરાતે પરિભ્રમણ કરતુ હતું પરંતુ જો આપણે રોડની વાત કરીયે તો ફક્ત અહીં બહારનું જ દળ ફક્ત આટલુંજ દળ R જેટલા ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તૂમ પરિભ્રમ કરે છે ફક્ત આટ્લોજ ભાગ આખી ત્રીજા ને ફરફતે પરિભ્રમણ કરે છે હવે જો બાકીના ભાગની વાત કરીયે તો અહીં આ ભાગ વર્તુળની ફરતે પરિભ્રમણ કરશે પરનુત તેની ત્રિજ્યા R જેટલી થશે નહિ તેની ત્રિજ્યા R કેરેટ ઓછી હશે માટે આપણે કોઈ એવા પદાર્થની કોણીય વેગમાં કઈ રીતે શોધી શ્કીયે જેના દાળનું વિતરણ થયું હોય તેમનું કેટલુંક દળ અક્ષાની નજીક હોય અને કેટલુંક દળ આકષાની દૂર હોય અને આપણે આ વડીઓમાં તેજ કરીશું આપણી પાસે એક જ પદના કોણીય વેગમાંનું સૂત્ર છે જે એક ત્રીજાય ધરાવતા વર્તુળમાં ગતિ કરે છે માટે આપણે અહીં એવું ધરી લઈએ કે આ પદાર્થ ઘણા બધા નાના દાળનો બનેલો છે જે કે જ ત્રિજ્યા આગળ ગતિ કેર છે માટે આપણે આ રોડને નાના ભાગમાં વિભાઈત કરીયે અને પછી તે દરેક નાના દુકાળનું કોણીય વેગમાં સોઢીએ તેમનો સરવાળો કરીયે જેથી આપણને આ આખા પદાર્થ માટે કુલ કોણીય વેગમાં મળશે આપણે હવે તે પ્રમાણે કરીયે આ નાના દુકાળનું કોણીય વેગમન શોધીયે તેનું કોણીય વેગમાન બરાબર તે દુકાળનું દળ M હું અહીં સ્પષ્ટતા કરવા માંગુ છું કે અહીં આ M એ આખા પદાર્થનું દળ નથી પરંતુ તે ફક્ત આ નાના ટુકડાનું દળ છે ગુણ્યાં તે ટુકડાનો વેગ ગુણ્યાં ત્રીજાય હવે જો આપણે આ સૂત્રને એક કહીયે તો આ M1V1R1 થશે અને આ ટુકડાનો કોણીય વેગમાં L1 થશે તેવીજ રીત આ ટુકડાને બે કહીયે માટે આ ટુકડાનું કોણીય વેગમાં L2 બરાબર M2V2 ગુણ્ય R2 હવે અહીં યાદ રાખો કે આ બધાજ V જુદા જુદા છે સૌથી બહારની ઘરની ઝડપ ખુબજ વધારે હશે પછી અહીં આ તુકાળની ઝડપ ઓછી હશે અને પછી આ ત્રીજા ટુકડાની ઝડપ જે આ ભાગની ખુબજ નજીક છે તેની ઝડપ ઓછી હશે કારણકે આ તુક્કાડો તેટલાજ સમયમાં નાના વર્તુળની ફરતે ગતિ કરશે અને આ બહારનો ભાગ તેટલા જ સમય મોટા વર્તુળની ગતિ કરશે હવે તારે કદાચ થશે કે આ ભાગ ખુબજ જટિલ છે કારણકે તે બધાની ઝડપ જૂઇડ જુદી છે તે બધાની ત્રિજ્યા પણ જુદી જુદી છે તો આપણે તે કઈ રીતે કરી શકીયે ધારોકે આપણે આ આખા જ પદાર્થને ખુબજ નાના અન્તય સંખ્યાઓમાં વિભાજીત કરીયે મેં અહીં ફક્ત બે દોર્યા છે હું તમને વધારે ગુંચવવા નથી માંગતી પરંતુ આપણે એવી ધરી લઈએ કે આ આખું M દળ ધરાવતું પદાર્થ ખુબજ નાના દળ ધરાવતા અસંખ્ય ટુકડાઓમાં વિભાજીત થયેલો છે માટે દરેક ટુકડાનું કોણીય વેગમાં ખુબજ ઓછું હશે કારણકે તેમનું દળ M1 ઓછું હશે માટે તે બધાનો સરવાળો કરીયે અને શું મળે છે તે જોયીયે આપણે આ દરેક નાના ટુકડાનો કોણીય વેગમાંનો સરાવલો કરીયે અને તેના બાબર આપણને આ આખા રોડનું કુલ કોણીય વેગમાં મળે બીજા શબ્દોમાં કહીયે તો આના બરાબર M1V1R1 વત્તા M2V2R2 વત્તા આપણે આ રીતે અનંત સુધી આગળ વધી શકીયે આપણે તે આખાને લખી શકીશું નહિ કારણકે આ દરેક ટુકડાઓની સ્નસખ્યા અંતંત છે હવે આપણે અહીં શું કરી શ્કીયે તેનું સાદું રૂપ કઈ રીતે આપી શકાય આપણે ભૂત શાસ્ત્રનો પ્રશ્ન ઉકેલી રહ્યં છીએ આપણે આ દરેક પાડાને લખીને આ અનંતાનંત શ્રેણીને ઉકેલવા નથી માંગતા પરંતુ આપણે ચતુરાઈ પૂર્વક તેનો ઉકેલ મેળવવા માંગીયે છીએ અને તેને કરવાની એક રીત છે L બરાબર MVR નો સરવાળો અહીં એક પ્રશ્ન એ છે કે દરેક M પાસે જુદું જુદું દળ છે જો હું કોઈક રીતે તેને આ સમીસનની બહાર લખી શકું તો હું આ સમીકરણને વધારે સરન બનાવી શકું હું કદાચ કોઈ ચાલને સામાન્ય લઈ શકું પરંતુ હું અહીં R ને સામાન્ય લઈ શકું નહિ કારણકે અક્ષથી જુદી જુદી ત્રિજ્યા છે આપણે હંમેશ ત્રિજ્યાનુ માપન અક્ષથી કરીયે છીએ અને અક્ષથી તે ભાડની ત્રિજ્યા જુદી જુદી છે તે ભાડની ઝડપ પણ જુદી જુદી છે પરંતુ યાદ રાખો આપણે હંમેશા કોણીય ચલના સંદર્ભમાં સમીકરણને લખાવ માંગીયે છીએ કારણકે આ દરના દરેક બિંદુ આગળ કોણીય ચલ સમાન જ રહે આ રોડના દરેક બિંદુઓ જુદી જુદી ઝડપે પરિભ્રમણ કરી રહ્યં છે પરનુત તે બધા પાસે ક્કોનીય ઝડપ ઓમેગા સમાન હશે અને આ આની કે હિન્ટ છે અને આપણે અહીં તેનો ઉપયોગ કરીશું સમીસનમાં M ગુણ્યાં પરંતુ હવે આ V ની જગ્યાએ હું અહીં ઓમેગા ગુણ્યાં R લખીશ યાદ રાખો કે વર્તુળમાં ગતિ કરતા દરેક બિંદુ આગળની ઝડપ બરાબર તે બિંદુ પાસેની ત્રિજ્યા ગુણ્યાં તેની કોણીય ઝડપ અને આપણે હૈ તેની કિંમત મૂકી છે પરનુત હાજી મારે આ અંતિમ R સાથે ગુણવાનું બાકી છે મેં અહીં V ની કિંમત મૂકી છે ગુણ્યાં આ અને તેના બરાબર આપણને કોણીય વેગમાં સામેસનમાં M ગુણ્યાં R બનો વર્ગ ગુણ્યાં ઓમેગા મળે હવે અહીં આ સરળ છે દરેક M માટે ઓમેગા સમાન છે દરેક દળ સમાન કોણીય ઝડપાઇ ગતિ કરી રહ્યું છે માટે આપણે આ ઓમેગાને સામેસનની બહાર લખી શકીયે જો અહીં આ દરેક પથં ઓમેગા હોય તો આપણે ઓમેગાને સામાન્ય લઈ શકીએ માટે L બરાબર સામેસનમાં M ગુણ્યાં R નો વર્ગ અને હું અહીં કોઉન્સ મુકીશ આપણે M ગુણ્યાં R ના વર્ગનો સરવાળો કરી રહ્યં છીએ ને તે આખું પેડ ગુણ્યાં ઓમેગા પરંતુ હવે તમે કહેશો કે મારી પાસે હજુ પણ આ સરવાળાની નિષાની છે તેઈ સાથે શું કરી શક્ય તમારે તેની સાથે કંઈક રવાની જરૂર નથી તમે અહીં સેનો સરવાળો કરી રહ્યા છો એ જુવો તમે M ગુણ્યાં R ના વર્ગનો સરવાળો લઈ રહ્યં છો અને M ગુણ્યાં R નો વર્ગ શું છે M ગુણ્યાં R નો વર્ગ બરાબર ઝડપની તાપ માતર થાય અને માટે તે ટુકડા માટે ઝાપટવાની તાપમાત્ર મળશે હવે જો હું બધી ઝડપાટવાની તાપમાત્રનો સરવાળો કરું તો મને અહીં આખા રોડ માટે કુલ ઝડપાટવાની તાપમાત્ર મળે માટે કોણીય વેગમાં બરાબર આ આખા પદાર્થની ઝડપની તાપમત્ર ગુણ્યતે પદાર્થની કોણીય ઝડપ અને તે સંપૂર્ણ રીતે યોગ્ય છે વેગમાં વિશે વિચારો વેગમાં બરાબર M ગુણ્યાં V હવે જો તમે મને એમ કહો કે આના પરથી કોણીય વેગમાનને નક્કી કરો તો તમારે આ આંખી તરવાની કરવાની જરૂર નથી વેગમાંની જાગ્ય્યે કોણીય વેગમાં લઈશું અને પછી દાળને કોણીય દળ વડે બદલીશું કોણીય દળ એટલે કોણીય ઝડપ અને કોણીય જડત્વ એટલે ઝાપટવાની છાપ માતર ગુણ્યાં રેખીય ઝડપને કોણીય ઝડપ વડે બદલીશું અને તમે અહીં જોય શકો કે આપણે તેજ સમાન સૂત્ર મળે જો તમે આ બધીજ રેખીય રાશિયોને કોણીય રસી વડે બદલો તો તમને વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતી કોઈ પણ વસ્તુનું કોણીય વેગમાં મળે માટે જો તમારી પાસે કોઈ આ રીતનો પદાર્થ હોય જે વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતો હોય અને તેના દાળનું વિતરણ થયું હોય તો તેનું કોણીય વેગમાં બરાબર તે પાદાર્થની ઝડપટવાની ચાપમાત્ર ગુણ્યાં તે પાદાર્થની કોણીય ઝડપ ધારોકે કે આ પદાર્થનું દળ ૩ કિલોગ્રામ છે અને ત્રિજ્યા બે મીટર છે આપણે હંમેશા અક્ષની ત્રિજ્યાનુ માપન કરે છે અને આ રોડની કોણીય ઝડપ ૧૦ રોડ પ્રતિ સેંકડન છે તો આપણે આ રોડનું કોણીય વેગમાં શોધી શ્કીયે અહીં કોણીય વેગમાં બરાબર રોડના આ છેડા આગળ ઝડપની ચાપમત્ર જે ૧ નચ્છેદમાં ૩ M ગુણ્યાં L નો વર્ગ થશે અહીં આ રોડાં છેડા આગળની ઝાપટવાની ચાપમત્ર છે ગુણ્યાં પદાર્થની કોણીય ઝડપ માટે જોનિય વેગમાં બરાબર એક ના છેદમાં ૩ ગુણ્યાં પદાર્થનું દળ ૩ કિલોગ્રામ છે ગુણ્યાં પાદાર્થની લંબાઈ ૨ મીટર છે આપણે તેનો વર્ગ કરીશું અને પદાર્થની કોણીય ઝડપ ૧૦ રેડિયમ પ્રતિ સેકન્ડ છે માટે આપણે કોઈનીય વેગમાં બરાબર ૪૦ કિલોગ્રામ મીટરનો વર્ગ પ્રતિ સેકન્ડ મળે પુનરાવર્તન કરીયે તો જો તમારી પાસે બિંદુ પાસે કોઈ દળ હોય જેમકે દળ અને તે સમાન ત્રિજ્યા વર્તુણું પરિભ્રમણ કરતું હોય તો તેને કોણીય વેગમાન આ સૂત્રના માળાથી સરળતાથી શોધી શકાય પાર્ટનું જો તમારી પાસે કોઈક આ રીતનો પદાર્થ હોય જેમાં દાળનું વિતરણ થયું હોય તો તેમાં કોણીય વેગમાન શોધવાની રીત આ પ્રમાણે છે તમે L બરાબર I ઓમેગા સૂત્રનો ઉપયોગ કરો જ્યાં I એ તે પાદાર્થની ઝડપટવાની ચાપમાત્ર છે અને ઓમેગા એ તે પદાર્થનું કોણીય વેગ છે