ચાકગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા

બેસ બોલનો એક ખિલાડી આ રીતે ઝડપથી બોલ ફેંકે છે આ બોલણીપ અસે ચોક્કસ પાને ગતિ ઉર્જા હશે પરંતુ બોલ જયારે આ રીતે સ્પિન કરતો હોય ત્યારે શું તેની પાસે વધારાની ગતિ ઉર્જા હશે હા તેની પાસે હશે અને તે આપણે કઈ રીતે શીખી શ્કીયે તે આ વિડીઓમાં જોયાંશુ તો ચાકગતિ કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા આપણે કઈ રીતે શોધી શકીયે ચાકગતિ કરતા ચાખતી કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા જેને આપણે ઇંગ્લીશમાં કાઈનેટીક ઉર્જા કહીશું હવે સામાન્ય ગતિ ઉર્જા શું તે આપે જાણીયે છીએ ગતિ ઉર્જા બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ M ગુણ્યાં V નો વર્ગ હવે હું ચાખતી કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા શોધવા માંગુ છું જેને આપણે આ રીતે દર્શાવીશું K રોટેશનલ અને તેના બરાબર શું થાય હવે ચકગતિ કરતા પદાર્થ માટે આપણે જાણીયે છયે કે દળને સમાન શબ્દ જાડાપત્વની ચકમાત્ર થશે માટે અહીં દાળની જગ્યાએ જાડાપત્વની ચાક માત્ર આવશે ન્યુટનના બીજા નિયમ અનુસાર આપણે જાણીયે છીએ એ ચાક ગતિ કરતા પદાર્થનું દળ એ જાડાપાણી ચાક માત્ર છે હવે ઝડપની વર્ગની જગયાએ મારી પાસે એક પદાર્થ છે જે રિભ્રમણ કરી રહ્યો છે તેથી આપણે અહીં કોણીય ઝડપનો વર્ગ લઈશું અને આ સૂત્ર કામ કરશે આમ જો તમારી પાસે રેખીય રસીનું સૂત્ર હોય તો તમે દરેક ચલને પરિભ્રમણના અનુરૂપ ચાલમાં ફેરવી શકો માટે જો હું દળને પરિંહરામનીય દળ વડે બદલું તો તો મને જડત્વની ચાક માત્ર મળશે અને ઝડપને પરિભ્રમણીય ઝડપમાં બદલું તો અહીં મને કોઈનીય ઝડપ મળશે અને આ સૂત્ર સાચું છે તેથી આ વિડીઓમ આસૂત્ર સાચું છે આપણે તે જોયાંશુ હવે બેઝબોલની જેમ સ્પિન કરતા પદાર્થને ગતિ ઉર્જાનું આસૂત્ર છે એવું આપણે કઈ રીતે સાબિત કરી શકીયે સૌપ્રતહામ આપણે એ સમજીયે કે ચાક ગતિ કરતા આ પદાર્થનું ગતિ ઉર્જા એ નવા પ્રકારની ઉર્જા નથી તે અહીં રેખીય ગતિ ઉર્જાની જેમ જ છે મારો અર્થ શું છે તે હું તમને સમજવું ધારોકે આ બેઝબોલ વર્તુળમાં ગતિ કરી રહ્યો છે આ બેઝબોલ પરનો દરેક બિંદુ કોઈક ઝડપે ગતિ કરી રહ્યું છે આપણે તેનું ઉપરના ટોચના બિંદુ વિશે વિચારીયે લેથરનો આ નેનો ટુકડો ધારોકે આ નાના દુકાળનું દળ M1 છે અને તેનો વેગ આ પ્રમાણે આગળની દિશામા છે ધારોકે તેનો વેગ V1 છે તેજ રીતે અહીં આ બિંદુ વિશે વિચારીયે ધારોકે તેનો વેગ M2 છે અને તે નીચેની તરફ આવશે અને આ વર્તુળમાં ગતિ કરી રહ્યો છે અને ધારોકે તેનો વેગ V2 છે અને અક્ષાની નજીકના બિંદુઓ ઓછી ઝડપથી ગતિ કરશે તેથી આપણે આ બિંદુ લઈએ જેનું દળ M3 છે એ એટનો વેગ નીચેની તરફ V3 છે તે V1 અને V2 જેટલો મોટો નથી અહીં બેસબોલનું અક્ષ આ જગ્યાએ છે અક્ષાની નજીક આવેલા બિંદુનો વેગ આકષાથી દૂર આવેલા બિંદુ કરતા ઓછું હોય છે તમે જોય શકો કે આ ધોડુંક જટિલ છે બેઝબોલ પરના બધાજ બિંદુ જુદી જદુઈ ઝડપ સાથે ગતિ કરી રહ્યાં છે માટે હવે અક્ષાની હજુ પણ નજીક આવેલું બિંદુ આ બિંદુ ખુબજ ઓછી ઝડપે ગતિ કરશે ધારોકે તે બિંદુનું દળ M4 છે અને તેનું વેગ V4 છે તો ચાખતી કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા એટલે આ અક્ષાની અનુલક્ષીને આ બધાજ દળ પાસે રહેલી ગતિ ઉર્જા બીજા શબ્દોમાં કાગીયે તો કે રોટેશનલ બરાબર આ બધીજ ગતિ ઉર્જાવોનો સરવાળો માટે આ પહેલા બિંદુની ગતિ ઉર્જા બરાબર એક ના છેદમાં ૨ M1 ગુણ્યાં V1 નો વર્ગ તેવીજ રીતે આ બીજા બિંદુની ગતિ ઉર્જા ૧ ના છેદમાં ૨ M2 ગુણ્યાં V2 નો વર્ગ અહીં આ V2 નીચેની તરફ છે પરંતુ તમારે તેની ચિંતા કરવાની જરૂર નથી કારણકે આ સાડીશ રસી નથી ગતિ ઉર્જા એ અડીશ રસી છે આપણે અહીં ઝડપ લાય રહ્યા છીએ અને તેનો વર્ગ કરી રહ્યં છીએ તેવીજ રીતે જો ત્રીજા દળ માટે વિચારીયે તો તેની ગતિ ઉર્જા ૧ ના છેમડા ૨ M3 ગુણ્યાં V3 નો વર્ગ થાય પરંતુ તમે હવે કહેશો કે આ ધોડુંક અઘરું છે કારણકે આ બેઝબોલ પાર અનંત સંખ્યાઓમાં બિંદુઓ આવેલા છે હું આવું કેટલા અખાત કરી શકું હું તેને સિગ્મા રોટેશનમાં દર્શાવી શકાયુ માટે K રોટેશનલ બરાબર આ બેઝબોલ પાર આવેલા અસંખ્ય બિન્દુઓના ગતિનો સરવાળો માટે આપણે અહીં લખીશું જે આપણે આ રીતે લખીશું આ રીતે હવે આ આ બેસબોલને ખુબજ નાના ટુકળાવોમાં વિભાજીત થયેલો વિચારો અને તે બધા ટુકડાવો કેટલા ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યા છે તે વિચારો મારો કહેવાનો અર્થ એ છે કે તમે આ બધાનો સરવાળો કરો તો તમને ચાખતી કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા મળે તે ધોડુંક અશક્ય લાગે છે તો આપણે હવે શું કરી શકીયે અહીં એક માત્ર સમસ્યા V છે અહીં બધાજ બિંદુઓ આગળનો વેગ જુદો જુદો છે પરંતુ આપણે એક ત્રિકાનો ઉપયોગ કરી શકીયે યાદ કરો કે પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુઓ માટે V બરાબર R ગુણ્યાં ઓમેગા ત્રીજા એ તમે અક્ષથી કેટલા દૂર છો તે ગુણ્યાં કોણીય ઝડપ અથવા કોણીય વેગ કરતા તમને રેખીય વેગ મળે માટે આપણે અહીં V ની જાગ્યો R ઓમેગા લખીયે આપણે આ સૂત્રને ફરીથી લખીયે અહીં V ની જગ્યાએ R ગુણ્યાં ઓમેગા અને તેનો વર્ગ તમે કહેશો કે આ આના કરતા પણ અઘરું છે આપણે આવું શા માટે લહિયે છીએ આના બરાબર સિગ્મા ૧ ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં M ગુણ્યાં R નો વર્ગ ગુણ્યાં ઓમેગાનો વર્ગ આ લખવાનું કારણ એ છે કે બેઝબોલ પરના દરેક બિંદુ આગળ જુદી જદુઈ ઝડપ હોવા છતાં તે બધીજ બિંદુઓની આગળની કોણીય ઝડપ સમાન હશે કોણીય રસી વિશેની આ સારી બાબત છે બેઝબોલ પરના દરેક બિંદુ આગળ કોણીય વેગ અતહવાં કોણીય ઝડપ સમાન હશે અક્ષથી તમે કોઈ પણ જગ્યાએ હોવ તે મહત્વનું નથી પરંતુ આ ઓમેગા સમાન રહે માટે આપણે આ ઓમેગાને વર્ગને આસીગ્માનાઈ બહાર લખી શકીયે તેમજ અહીં આવેલા અચળાંકને સામેસાહનની બહાર લખી શ્કીયે તેથી તેના બરાબર 1 ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં સિગ્મા ગુણ્યાં M ગુણ્યાં R નો વર્ગ અને આપણે આ ઓમેગાનાના વર્ગને કૌંસની બહાર લખીશું કારણકે તે દરેક બિંદુ આગળ સમાન છે આપણે અહીં સામાન્ય અવયવને બહાર લાય રહ્યાં છીએ જેવી રીતે આ દરેક પદમાં 1 છેમડા ૨ છે માટે આપણે ૧ ના છેદમાં ૨ ને સામાન્ય લાય શકીયે જેથી આ રીતે લખી શકાય ૧ ના છેમડા ૨ કૌશામાં M1 V1 સ્કેવર વત્તા M2V2 સ્કેવર વત્તા M3V3 સ્કેવર અને આગળ આપણે અહીં નીચે પણ તેજ પ્રમાણે કર્યું અહીં નીચે ૧ ના છેદમાં ૨ અને ઓમેગા અચળ છે પરંતુ તમે હવે કહેશો કે આપણે પાસ હજુ પણ M છે દરેક બિંદુ આગળ દળ જુદું જુદું છે અને હેત્વીજ રીતે આપણી પાસે R નો વર્ગ પણ છે કારણકે બેઝબોલના દરેક બિંદુઓ પાસે R જુદું જુદું છે તે બધા જ બિંદુઓ અક્ષાની જુદા જુદા અંતરે આવેલા છે અક્ષથી આ બધાજ બિંદુઓનું અંતર જુદું જુદું છે માટે આપણે આ બંનેને સીગ્માને બહાર લખી હસકઈયેં નહિ તો આપણે હવે શું કરી શ્કીયે જો તમે આ પદને ધ્યાનથી જુવો તો તે પદાર્થની જડત્વની ચાક માત્ર છે યાદ કરો કે આપણે અગાઉ જે પ્રમાણે શીખી ગયા તે પ્રમાણે પદાર્થની જડત્વની ચાક માત્ર બરાબર M ગુણ્યાં R નો વર્ગ બિંદુ વાત દાળની જડત્વની ચાક માત્ર MR નો વર્ગ છે અને જો આપણે બધાજ બિંદુઓની જડત્વની ચાક માત્ર સોઢીએ તો તેના બરાબર સિગ્મા MR નો વર્ગ થશે એટલકે બધાજ બિંદુના MR ના વર્ગનો સરવાળો અને આપણી પાસે અહીં તેજ છે માટે આ બેઝબોલની જડત્વની ચાક માત્ર થશે તેનો આકાર કેવો હશે તે મહત્વનું નથી પરંતુ આપણે તે બધાજ બિંદુ આગળના MR ના વર્ગનો સરવાળો કરીયે તો આપ[ને પદાર્થની કુલ જડત્વની ચાક માત્ર મળે માટે આપણે અહીં આ પ્રકારનું સૂત્ર મળે K રોટેશનલ બરાબર 1 ના છેડામ 2 ગુણ્યાં આ પદ જે આ છે ગુણ્યાં ઓમેગાનો વર્ગ અને આસુસત્ર આ સૂત્રને સમાન જ છે જેને આપણે અનુમાન લગાવીને મેળવ્યું હતું અને આસૂત્ર કામ કરે છે પદાર્થનો આકર કોઈ પણ હોય ચાક ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા બરાબર ૧ છેદમાં ૨ I ગુણ્યાં ઓમેગાનો વર્ગ થાય આમ આ રસી તમને તે પદાર્થના ભવ્યમં કેન્દ્રને અનુલક્ષણીને દળ પરના તામાં બિંદુઓને રોટેશનલ કાઈનેટીક એનર્જી આપે છે પરંતુ આ સૂત્રમાં સ્થળાંતરણ કરતા અદાર્થનાઈ ગતિ ઉર્જાનો સમાવેશ થતો નથી કે હવામાં ગતિ કરતા પદાર્થને ગતિને સમાવતું નથી આ બેઝબોલ હવામાંથી પસાર થાય છે આપણે એટનો સમાવેશ કરતા નથી બીજા શબ્દોમાં કહીયે તો હવામાંથી સ્થળાંતરણ કરતા આ બેઝબોલના આ સાચા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને આપણે ગણતરીમાં સમાવતા નથી પરંતુ તેના માટે આપણે આસુત્રનો ઉપયોગ કરી શકીયે આ સાઠાન્તરં ગતિ ઉર્જા છે માટે સામાન્ય ગતિ ઉર્જા કહેવાને બદલે આપણે એટને સ્થળાંતરણ ગતિ ઉર્જા કહીશું પદાર્થનું દરવામાં કેન્દ્ર ગતિ કરી રહ્યું છે તે હકીકતમાં આધારે મળતી ઉર્જા તેમજ પદાર્થ જયારે પરિભ્રમણ કરે ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જા શોધવાનું સૂત્ર પણ આપણી પાસે છે માટે જો પદાર્થ ગતિ ઉર્જા કરતો હોય તો તેની પાસે રોટેશનલ કાઈનેટીક ગતિ છે અને જો પદાર્થ સ્થળાંતરણ એટલકે ટ્રાન્સલેશન કરતો હોય તો આપણી પાસે ટ્રાન્સલેશનલ કાઈનેટીક એનારંગી છે અને જો પદાર્થ ચાક ગતિ તેમજ સ્થળાંતરણ કરતો હોય તો તેની પાસે આ બંને પ્રકારની ગતિ ઉર્જા હશે અને આ બાબત ખુબ મહત્વની છે જયારે પદાર્થ સ્થળાંતરણ અને ચાક ગતિ બંને કરતો હોય અને તમે તે પદાર્થની કુલ ગતિને શોધવા માંગો તો તમે ફક્ત આ બંનેનો સરવાળો કરી શકો જો હું ફક્ત ૧ ના છેદમાં ૨ MV નો વર્ગ લોવ તો અહીં આ વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એટલકે સેન્ટ્રલ ઓફ માસનો વેગ થશે તમારે અહીં ધ્યાન રાખવાની જરૂર છે હું તમને સમજવું અને આ આકૃતિને દૂર કરું જો તમારી પાસે ૧ ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં M ગુણ્યાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ હોય તો તમને આ વેગનું કુલ સ્થળાંતરણ ગતિ ઉર્જા મળશે અને જો તમે તેમાં ૧ ના છેદમાં ૨ I ગુણ્યાં ઓમેગાના વર્ગને ઉમેરો જ્યાં ઓમેગા તે તેના આકષાને અનુલક્ષીને છે તો તમને આ આખા પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા મળશે એટલકે સ્થળાંતરણ અને રોટેશનલ બંને ગતિ ઉર્જા આમ આપણે ચાક ગતિ કરતા તેમજ સ્થળાંત્તરં કરતા પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જાને આ બંને પઠાણે સરવાળો કરીને શોધી શકીયે તો હવે આપણે અહીં ઉદાહરણ જોયીયે ધારોકે મારી પાસે આ બેઝબોલ છે અને આ બેઝબોલ હવામાં ૪૦ મીટર પ્રતિ સેકંડના વેગથી પસાર થાય છે માટે આ બેસબોલનું ગતિમાન કેન્દ્ર ૪૦ મીટર પ્રતિ સેકંડના વેગથી ગતિ કરી રહ્યું છે પરંતુ કોઈક આબોલને ઝડપથી ફેંકી રહ્યું છે માટે તે સાથે સાથે ચાક ગતિ પણ કરે છે અને તેનો કોણીય વેગ ૫૦ રેડિયમ પ્રતિ સેકનડ છે ધારોકે આ એબ્સબૉલનું દળ ૦.૧૪૫ કિલોગ્રામ છે અને ધારોકે આ બેઝબોલની ત્રિજ્યા ૭ સેન્ટિમીટર છે જો આપણે મીટરમાં વિચારીયે તો તે ૦.૦૭ મીટર થાય તો આ બેઝબોલની કુલ ગતિ ઉર્જા શું તાસે તે ચક ગતિમાં ગતિ ઉર્જા પણ થશે સ્થળાંતરણ ગતિ ઉર્જા બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ M ગુણ્યાં દરવામાં કેન્દ્રનો વેગ જેના બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ બેસબોલનું દળ ૦.૧૪૫ કિલોગ્રામ છે અને ડરાવમાં કેન્દ્રનો વેગ ૪૦ ,ઈતર પ્રતિ સેકન્ડ છે દ્રવ્યમાન આટલા વેગથી ગતિ કરી રહ્યું છે અને જો આપણે આ બધાની ગણતરી કરીયે તો આપણે ૧૧૬ જુલ મળે હવે આપણે આ ચક કરતા ગતિ ઉર્જાની ગતિ કેટલી મળે કારણકે અહીં બેઝબોલ ચક ગતિ પણ કરી રહ્યું છે તેના બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં I ગુણ્યાં ઓમેગાનો વર્ગ અહીં આ બેઝબોલ ગોળો છે અને ગોળ માટે જડત્વની ચક માત્ર શું થાય હું અહીં બધાજ બિંદુઓ માટે L ગુણ્યાં R ના વર્ગનો સરવાળો નથી કરવા માંગતા પરંતુ જો આપણે કેલ્કુલર્સનો ઉપયોગ કરીયે તો તેનું સૂત્ર આપ્રમાણે હશે ચોપડીમાં અથવા ઑન્લીને પણ આ જોય શકો ગોળ માટે જડત્વની ચકમાત્ર બરાબર ૨ ના છેદમાં ૫ ગુણ્યાં MR નો વર્ગ જેનો અર્થ એ થાય કે ૨ ના છેદમાં ૫ ગુણ્યાં બેસબોલનું દળ ગુણ્યાં બેઝબોલની ત્રિજ્યા અહીં આ પેડ ફક્ત I છે આપણે અહીં ધરી લઈએ કે આ બેઝબોલ નિયમિત ગોળનો બનેલો છે તેની ઘનતા નિયમિત છે પરંતુ તે સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી ત્યાર બાદ આપણે તેનો ગુંણાકર ઓમેગા વર્ગ સાથે કરીયે કોણીય ઝડપનો વર્ગ માટે તેના બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં ૨ ના છેદમાં ૫ ગુણ્યાં બેસબોલનું દળ ૦.૧૪૫ કિલોગ્રામ છે બેઝબોલની ત્રિજ્યા ૦.૦૭ વર્ગ છે ગુણ્યાં ઓમેગાનો વર્ગ જે ૫૦ રેડિયમ પ્રતિ સેકન્ડનો વર્ગ છે અને જો આપણે આની ગણતરી કરીયે તો આપણે ૦.૩૫૫ જુલ મળે આમ ચક કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા ખુબજ ઓછી છે માટે મોટા ભાગની ગતિ ઉર્જા સ્થળાંતર પ્રકારની છે બીજા શબ્દમાં કહીયે જયારે આ બેઝબોલ સ્થળાંતરણ ગતિ કરતો હોય ત્યારે તમારી સાથે અથડાય ત્યારે તમને વધારે વાગશે આમ બેઝબોલની કુલ ગતિ ઉર્જા મોટા ભાગે સ્થળનાટરના ગતિ ઉર્જા છે હવે જો તમે આ બેઝબોલની કુલ ગતિ ઉર્જા શોધવા માંગીયે તો આપણે આ બંનેનો સરવાળો કરીયે માટે કુલ ગતિ ઉર્જા બરાબર સ્થળાંતરણ ગતિ ઉર્જા ચકગતિમાં ગતિ ઉર્જા માટે કુલ ગતિ ઉર્જા બરાબર ૧૧૬ જુલ વત્તા ૦.૩૫૫ જુલ માટે કુલ ગતિ ઉર્જા બરાબર ૧૧૬.૩૫૫ જુલ થાય પૂર્ણાવર્તન કરીયે તો જો પદાર્થ સ્થળાંતરણ ગતિ અને ચાખતી બંને કરતો હોય તો અમે સ્થળાંતરણ ગતિ આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકો તેના બરાબર ૧ ના છેદમાં ૨ ગુણ્યાં પદાર્થનો દળ ગુણ્યાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ તેમજ ચાખતી કરતા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય તેના બરાબર એક ના છેમડા ૨ ગુણ્યાં જડત્વની ચકમાત્ર ગુણ્યાં કોણીય વેગનો વર્ગ પદાર્થનો આકર કોઈ પણ હોય પરંતુ જો તે વર્તુળમાં ગતિ કરતો હોય તો તમે R ની જગ્યાએ MR ના વર્ગનો ઉપયોગ કરી શકો જો તે ગોળો હોય તો તેનું જડત્વ ૨ ના છેદમાં ૫ ગુણ્યાં MR નો વર્ગ થશે નળાકારમાં તે ૧ ના છેદમાં ૨ MR નો વર્ગ થશે તમે કાયા R ની જરૂર પડશે તમે તે ટેબલમાં જોય શકો ત્યાર બાદ તેનો ગુણાકાર કોણીય વેગના વર્ગ સાથે કરો અને જો તમે આ બન્નેઓ સરવાળો કરો તો તમે પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા મળે