બોલ રૉડ સાથે અથડાય તેના કોણીય વેગમાનનો પ્રશ્ન

જો તમારી પાસે કોઈ પદાર્થ હોય જેમકે આ ઉછાળતો દળો જો તે સીધી રેખામ ગતિ કરતો હોય તો તેની પાસે કોણીય વેગમાન હોય શકે છે હું આ વાક્ય ફરીથી કહીશ જો તમારી પાસે સીધી રેખામાં ગતિ કરતો બોલ હોય તો તેની પાસે કોણીય વેગમાન હોય શકે મેં જયારે આ પ્રથમ વાર સાંભળ્યું હતું ત્યારે મને ખુબજ નવાઈ લાગી હતી અને કદાચ તમને પણ લાગી હતી પરંતુ આ વિડીઓના અંતમાં આવું સ માટે થાય છે તે તમને સમજાય જશે મેં જયારે પ્રથમ વખત સાંભળ્યું ત્યારે મને એવું થયું હતું કે આ બોલ પાસે કોણીય વેગમાન હોવા માટે રીત નથી કારણકે તે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે તે પરીભ્રમણ કરતો નથી કોણીય વેગમાન હોવા માટે શું પદાર્થ કોણીય ભ્રમણ ન કરતો હોવો જોઇયીયે તેની પાસે કોણીય વેગમાન હોય જ એવું જરૂરી નથી સીધી રેકહામ ગતિ કરતા બોલ પાસે કોની વેગમાન ન પણ હોય તારે વધુ ગુંચવવો તે પહેલા તમને હું સમજાવીશ જો તમને કોઈ કહે કે આ બોલ પાસે કોણીય વેગમાન છે તો તમે કહેશો કે તેની અક્ષ કઈ હશે તમારે અહીં અક્ષ દર્શાવવાઈ ખુબજ જરૂરી છે અક્ષ એ એક એવું બિંદુ છે જેની આસપાસ પદાર્થ પરિભ્રમણ કરે છે માટે હું તમને એમ પૂછું કે શું આ બોલ પાસે કોણીય વેગમાન હશે જો આ બોલ સીધી રેખામાં ગતિ કરે તો આ અક્ષાની સાપેક્ષમ આ બોલ પાસે કોણીય વેગમાન હશે પરંતુ આ પ્રશ્ર્ન યોગ્ય છે પરંતુ જો તમને કોઈ એમ પૂછે કે આ બોલ પાસે કોણીય વેગમાન છે અને તે કોઈ પણ અક્ષાને ન દર્શાવે તો તે પ્રશ્ન યોગ્ય નથી તો આપણે હવે તેને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીયે આ બોલ પાસે કોઈ પણ પ્રકારની અક્ષ ન હોવા છતાં જયારે તે સીધી રેખા ગતિ કરે ત્યારે તેન પાસે કોણીય વેગમાન શા માટે હોય છે તે અહીં પરિભ્રમણ કરતો નથી તો તેની પાસે કોણીય વેગમાન કઈ રીતે હોય શકે આપણે જાણીયે છીએ કે તેની પાસે રેખીય વેગમાન હશે કારણકે દળ અને વેગ ધરાવતા પદાર્થ પાસે વેગમાન હોય છે પરંતુ તે પરિભ્રમણ કરતો નથી તે ફક્ત સીધી રેખામાં જાય છે તો તેની પાસે કોણીય વેગમાન કઈ રીતે હોય શકે સૌપ્રથમ એવું શા માટે હોય શકાઈ તે હું તમને સમજાવીશ ધારોકે મારી પાસે અહીં એક બાર છે કંઈક આ પ્રમાણે ધારોકે આપણે પક્ષીની આંખથી જોય રહ્યા છીએ અને આ નીચેની તરફ છે આ બારણે અક્ષ સાથે જોડેલો છે જે પરિભ્રમણ કરી શકાઈ ધારોકે આ બધુજ ટેબલેની ઉપર થાય રહ્યું છે અને આપણે નીચેની તરફ જાય રહ્યા છીએ આપણે આ બોલને ફેંકીયે છીએ આપણે આ બોલને સીધી રેખામ ગતિ કરાવ્યેએ છીએ તે આ રીતે બારની ધાર સાથે અથડાય છે હવે આ બાર સુ કરશે આપણે જાણીયે છીએ કે બાર શું કરે તે આ પ્રમાણે પરિભ્રમણ કરે તે એકસની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે હવે આ બારણાં પ્રારંભમાં કોઈ પણ કોઈનીય વેગમાન ન હતું કારણકે તે અહીં સ્થિર અવસ્થામાં છે પરંતુ બોલ સાથે અથડાયા બાદ તેની પાસે કોણીય વેગમાન છે કારણકે વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુઓ પાસે કોણીય વેગમાન હોય છે આ બાર કોણીય વેગમાન ક્યાં મેળવે બાર ફક્ત આ બોલની સાથે જ સમ્પર્કમામાં આવ્યો હતો માટે બોલ જયારે બાર સાથે અથડાયો ત્યારે આ બોલે કોણીય વેગમાન આબ ઓલ પાર ટ્રાન્સફર કર્યું હોવું જોયીયે કારણકે બાર બીજે ક્યાંથી કોણીય વેગમાન મેળવી શકે કારણકે જો આપણે કોણીય સંરક્ષણમાં વિશ્વાશ રાખતા હોયીયે તો આ કોણીય વગમાં ક્યાંથી આવવું જોયીયે તે આમજ અચાનક નથી આવી જતું માટે આ બાર પાસે કોણીય વેગમાન બોલ તરફથી આવવું જોયીયે કરાબકે અહીં બીજો કોઈ પણ પદાર્થ નથી માટે આ બોલ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે તેમ છતાં તેની પાસે તેનું પોતાનું કોણીય વેગમાન હોવું જોયીયે જે તમને કદાચ વિચિત્ર લાગે પરંતુ પરિસ્થિતિ આ જ હોય શકાઈ ભૌતિક શાસ્ત્ર આજ છે અને તે અક્ષ પાર શા માટે આધાર રાખે છે તે પણ અહીં સમજાય છે કારણ કે હવે હું આ બારને આ પ્રમાણે મુકું તેની અક્ષાને આ બિંદુ આગળ આ પ્રમાણે મુકું કલ્પના કરો કે આ બોલ અસકહન આ બિંદુની સાથે અથડાય છે તો તે આબારનો પરિભ્રમણ કરાવશે નહિ કારણકે તે અક્ષ સાથે અથડાય છે સીધી રેખામાં ગતિ કરતા પદાર્થ પાસે કેટલો કોણીય વેગમાન હોય છે તે આ એક્શન સ્થાન પરથી નક્કી થાય છે કારણકે જો બોલ આ બારણાં બોલ સાથે અથડાય તો તે કોઈ પણ પ્રકારના કોણીય વેગમાંનું વાહન કરશે નહિ હવે તમે કહેશો કે તેને ચોક્કસ રીતે કઈ રીતે ગણી શકાય સીધી રેખામાં જતા બોલ પાસે કોણીય વેગમાન હોય છે એ હકીકતને આપણે કઈ રીતે વખ્યાયિત કરી શકીયે તો આપણે હવે તેને વખ્યાયિત કરીયે ધારોકે આ બોલની ઝડપ અતહવાં વેગ v છે અને આ બોલનું દળ M છે આ અક્ષથી બોલ વચ્ચેનું અંતર અહીંથી આ અંતર સ્મોલ r છે હવે બિંદુ વાત દાળના કોમિયુવેગમાંનો અર્થ શું થાય તેને આપણે ચોક્કસ રીતે વખ્યાયિત કરી શ્કીયે માટે બિંદુ વાત દાળનું કોણીય વેગમાન બરાબર કોણીય વેગમાનને કેપિટલ L તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે બોલનું દળ ગુણ્યાં તેનું વેગ અથવા ઝડપ આ તમને પરિચિત હોય એવું લાગે છે કારણ કે આ રેખીય વેગમાંનું સૂત્ર છે જો તમે તેને આમ જ છોડી ડો તો તે રેખીય વેગમાન થશે પણ આપણેને અહીં કોણીય વેગમાન જોયીયે છે પદાર્થનો વેગ અથવ ઝડપ આ તમને પરિચિત હોય એવું લાગે છે કારણ કે આ રેખીય વેગમાંનું સૂત્ર છે જો તમે તેને આમ જ છોડી ડો તો તે રેખીય વેગમાન થશે પણ આપણેને અહીં કોણીય વેગમાન જોયીયે છે માટે આપણે તેનો ગીનકાર R સાથે કરીશું અક્ષથી અથવા યુગમાં બિન્દુથી આપણે જે દાળને થ્યાનમાં લઈએ છીએ તે દાળનું અંતર તેથી તે કુલ અંતર સ્માલ r થશે પરંતુ આપણે હજુ પૂરું નથી કર્યું આપણે અહીં હજુ એક વધારે પેડ જોયીયે છે આપણને અહીં સાઈન થિટા જોયસે વેગ અને સાડીશ R વચ્ચેના ખૂણાનો સાઈન માટે ગુણ્યાં સાઈન થિટા વેગ અને સાડીશ R વચ્ચેનો ખૂણો સાઈન ઓફ થિટા હવે જે લોકો થયાં આપતા હશે તે લોકો અહીં કહાંસે કે R એ અક્ષ ને દળ વચ્ચેનું અંતર છે માટે થિટા એ R અને V વચ્ચેનો ખૂણો થશે નહિ તેવો કહેશે કે આપણે R ને આ પ્રમાણે લંબાવાવાઉં પડે અને આ ખૂણો થશે પરંતુ આપણે અહીં સાઈન લાય રહ્યં છે અને આ બંને ખૂણા પૂરક કોણ થશે જો તમે આ બંને ખૂણામાંથી કોઈએ નો સાઈન લો તો તમને સમાન કિંમત જ મળે તેથી તમે V અને R ની વચ્ચેનો નો કોઈએ પણ ખૂણો લાય શકો અને તમને સાચો જવાબ મળશે પરંતુ આ સૂત્ર ધોળું જટિલ છે તમે કહેશો કે હું આ બંને વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા નથી માંગતી અને તમારે તેની જરૂર પણ નથી કારણ કે અહીં એક ટ્રીક છે તમે અહીં R સાઈન ઓફ થિટાને થયાંમાં લો તે શું આ સુ છે આકૃતિમાં તે શું દર્શાવે છે અહીં આ કુલ R છે અને આ થિટા છે તમારી પાસે R ગુણ્યાં સાઈન ઓફ થિટા છે હું અહીં એક ત્રિકોણ બનાવીશ આ પ્રમાણે અહીં આ ત્રિકોણ છે R ગુણ્યાં સાઈન થિટા એ આ બાજુ થશે ખૂણાની સામેની બાજુ જો તમને સમજાયું ન હોય તો તમે સાઈન ઓફ થિટા બરાબર સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ થશે અને અહીં સામેની બાજુ એટલે આ ખૂણૈ સામેની બાજુ જે એપિટાલ R છે સામેની બાજુ કેપિટલ R અને કર્ણ એ સ્મોલ r છે જો આપણે બંને બાજુ સ્મોલ r વડે ગુણીયે તો સ્મોલ r ગુણ્યાં સાઈન ઓફ થિટા અહીં થિટા એટલે આ ખૂણો તેના બરાબર કેપિટલ R થશે હવે અહીં આ R શું થાય તે અહીં આ નજીકના બિન્દુથી આ આટલું દૂર થશે બોલ જયરાએ આ દિશં V જેટલી ઝડપે ગતિ કરતો હોય અને અહીં આવે ત્યારે તે અક્ષીથી R જેટલા અંતરે હશે માટે આપણે તેને ફરીથી આ પ્રમાણે લખી શ્કીયે જયારે બિંદુ વાત દળ સીધી રેખામાં ગતિ કરતુ હોય ત્યારે તેનું કોણીય વેગમાન બરાબર દળ ગુણ્યાં વેગ M ગુણ્યાં V અને જો તમે આ સાઈન થિટા ને ગણતરી કરવા ન માંગતા હોવ તો તેને ફક્ત કેપિટલ R વડે ગુનો અહીં કેપિટલ R એ સૌથી નજીકના બિંદુનું અક્ષથી અંતર છે તેથી અહીં R એ અક્ષથી સૌથી નજીકના આકષઇ સૌથી નજીકના બિંદુ વચ્ચેનું અક્ષથી સૌથી નજીકના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે તે અહીં આ અંતર થશે અક્ષ અને આ બોલ જે બિંદુ આગળ અક્ષથી સૌથી વધારે નજીક હોય તેમની વચ્ચેનું અંતર માટે તમે R ઓફ સાઈન થિતની જગ્યાએ હંમેશા કેપિટલ R લખી શકો હવે બોલ જયારે સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે તે કાયા બિંદુ આગળ અક્ષથી સૌથી નજીક હશે તે અહીં આ બિંદુ થશે અને તે અક્ષથી કેટલો દૂર થશે અને તે જયારે સૌથી નજીક હોય ત્યારે અક્ષથી કેટલો દૂર હશે તે તમને R ની કિંમત આપશે અને પછી તમે MVR કરો તો તમને બિંદુ વાત દળ માટે કોણીય વેગમાન આપશે તે તમને કુલ વેગમાન આપશે જેનો વહન તમે કોઈ બીજા પદાર્થમાં કરી શકો માટે તે બાર આટલું કોણીય વેગમાન મેળવી શકે માટે આપણે એક ઉદાહરણ કરીયે બોલ એક રોડ સાથે અથડાય છે તેનું આ એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ છે ભૌતિક શાસ્ત્રના ટીચરસને આ પ્રકારના પ્રશ્નો ખુબજ ગમે છે તેનો ઉકેલ કઈ રીતે મેળવી શકાય તે તમારે જાણવું જોયીયે આપણે એક એવુજ ઉદાહરણ જોયીયે તમારી પાસે એક બોલ અને રોડ છે ધારોકે આ બોલ રોડ સાથે અથડાય છે ધારોકે આ બોલનું દળ ૫ કીલોગમ છે અને તે ૮ કિલો મીટર પ્રતિ સેકંડના વેગથી ગતિ કરે છે અને આ રોડના છેડા આગળ અથડાય છે આ રોડનું દળ ૧૦ કિલોગ્રામ છે ને તે ૪ મીટર લાબું છે તેની લંબાઈ ૪ મીટર છે આ તેનું અક્ષ થશે આપણે અહીં ધરી લઈએ કે આ રોડની ઘનતા નિયમિત છે માટે આ આખા રોડ પાર દાળનું વિતરણ નિયમિત રીતે ધયેલું છે અને આ રોડ પરિભ્રમણ કરી શકાઈ છે માટે જયારે બોલ સીધી ગતિ કરીને અહીં છેડા સાથે અથડાશે ત્યારે આ રોડ પરિભ્રમણ કરશે આપણે અહીં એક ધારણા એવી કરીયે જયારે તે આ બોલ સાથે અથડાશે ત્યારે તે અટકી જશે અને બોલ પાસે જે કોણીય વેગમાન હતું તેજ વેગમાંથી આ રોડ ગતિ કરશે તો આપણે હવે આ પ્રશને કઈ રીતે ઉકેલી શકીયે આપણે કોણીય વેગમાંના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીયે અહીં આ અક્ષ બાલ લગાડે છે અક્ષ આ તંત્ર પાર બાલ લગાડતું હોવા છતાં તે ૦ ટૉર્ક ઉત્ત્પન કરે છે અને તેનું કારણ R ની કિંમત છે ટૉર્ક બરાબર R ગુણ્યાં F ગુણ્યાં સાઈન થિટા થશે જો R બરાબર ૦ હોય તો ટૉર્ક પણ ૦ થાય R એ અક્ષથી બાલ વચ્ચેનું અંતર છે જો R બરાબર ૦ થાય હોય તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ટૉર્ક વડે કોઈન બાલ લાગતું નથી અને જો ત્યાં બાહ્ય પ્રકારનું કોઈ પણ ટૉર્ક ન લાગતું હોય તો તેનો અર્થ એ થાય કે તંત્રના વેગમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી માટે આ બોલ અને રોડ પાર કોઈ પન પ્રકારનું બાહ્ય ટૉર્ક હશે નહિ તેનો અર્થ એ થાય કે કોણીય વેગમાન સમાન રહેવું જોયીયે કોણીય વેગમાંનું સંરક્ષણ થાય છે તેથી આપણે કહી શ્કીયે કે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન બરાબર અંતિમ કોણીય વેગમાન હવે આ આખા તંત્ર પાસે પ્રારંભમાં કેટલું કોણીય વેગમાન હતું બિંદુવાત દળ પાસે પ્રારંભમાં આટલું દળ હતું M ગુણ્યાં V ગુણ્યાં કેપિટા R અને કેપિટલ R એ અક્ષથી સૌથી નજીકના બિંદુ વચ્ચેની અંતર છે આપણે અહીં કેપિટલ R ની જગ્યાએ આ આખા જ ૪ મીટરનો ઉપયોગ કરીશું તમે અહીં આ કર્ણ અને સાઈન થિતનો ઉપયોગ પણ કરી શકો પરંતુ તે આના કરતા ધોળું અઘરું થશે આમ અહીં આ તંત્રનું પ્રારંભિક કોઈનીય વેગમાન થશે હવે તેના બરાબર તંત્રનું અંતિમ કોણીય વેગમાન યાદ રાખો કે બળ સાથે અથડાયા બાદ બોલ અટકી જાય છે બોલ અહીં સ્થિર અવસ્થામાં આવી જાય છે અને આ રોડ પાસે જ કોણીય વેગમાન હશે માટે જયારે આપણે અંતિમ કોણીય વેગમાન વિશે વિચારીયે ત્યારે બાલ પાસેના કોણીય વેગમાન પાર ધ્યાન આપીયે અને અંતિમ વેગમાન શોધવા તમે I ગુણ્યાં ઓમેગાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો જેના કારણે અથડામણ પછી અંતિમ કોણીય વેગ શું હતું તે આપણે શોધી શકીયે અને આપણે અહીં તેજ શોધવા માંગીયે છીએ અથડામણ આ રોડનો અંતિમ કોણીય વેગ શું હશે અને આપણે તે શોધી શકીયે આપણે આ બોલનું દળ જાણીયે છે તેનું પ્રારંભિક વેગ જાણીયે છીએ અહીં R ની કિંમત પણ જાણીયે છીએ તે ૪ મીટર થશે હવે અહીં જાડાપટવાની ચાક માત્ર સુ થાય તેના બરાબર ૧ છેદમાં ૩ ગુણ્યાં M નો વર્ગ થશે માટે MVR બરાબર જાડાપટવાની ચાક માત્ર 1 ના છેદમાં ૩ ગુણ્યાં કેપિટલ M જે આ રોડનું દળ થશે ગુણ્યાં રોડની લંબાઈનો વર્ગ જે અહીં ૪ મીટર જ થાય તે કેપિટલ R ને સમાન થશે ગુણ્યાં ઓમેગા આપણે હવે ઓમેગા માટે ઉકેલી શ્કીયે માટે ઓમેગા બરાબર M ગુણ્યાં V ગુણ્યાં કેપિટલ R R એ અક્ષથી સૌથી નજીકના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે છેદમાં 1 ના છેદમાં ૩ ગુણ્યાં કેપિટલ M આપણે L અને R ને આપણે L ની જગ્યાએ R ને લખી શ્કીયે કારણકે તે બંને એક જ ચાલ છે એક R કેન્સલ થાય જશે હવે આપણે તેની કિંમત મુકીયે બોલનું દળ ૫ કિલોગ્રામ છે બોલનું વેગ ૮ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે ભાગ્ય ૧ ના છેદમાં ૩ ગુણ્યાં રોડનું દળ ૧૦ કિલોગ્રામ છે અને રોડની લંબાઈ ૪ મીટર છે જો તમે આ બધાને ઉકેલ્સો તો તમને ૩ રેડિયમ પ્રતિ સેકન્ડ મળશે બોલ સાથે અથડાયા બાદ આ રોડનું અંતિમ વેગ અથવા અંતિમ કોણીય ઝડપ ૩ રેડિયમ પ્રતિ સેંકડન હશે આ બોલ તેનું કોણીય વેગમાન આ રોડમાં ટ્રાન્સફર કરશે અને આ રોડ ૩ રેડિયમ પ્રતિ સેકંડના વેગથી પરિભ્રમણ કરશે હવે આ બોલ અટકી ગયાની જગ્યએ જો તે પાછળની દિશં ૨ મીટર પ્રતિ સેકંડના વેગથી ગતિ કરે તો અહીં શું તફાવત થાય તો અહીં આ અંતિમ કોણીય વેગમાન એ ફક્ત રોડનું જ અંતિમ કોણીય વેગમાન થશે નહિ તમારે આ બોલના અંતિમ કોણીય વેગમાંનો પણ સમાવેશ કરવો પડશે પરંતુ તે ધોડુંક અઘરું ભાગ છે સારુવાતમાં આ બોલ થોડો ગતિ કરે છે તેનો અર્થ એ થાય કે તેની પાસે કોણીય વેગમાન હશે અને પછી અથડાયા બાદ બોલ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે જેનો અર્થ એ થાય કે તેની પાસે હવે આ પ્રમાણેનો કોણીય વેગમાન હશે જેનો અર્થ એ થાય કે તમારે હવે અહીં ઋણ નિશાની મુકાવી પડે જમણી બાજુએ તમારાએ બોલના અંતિમ કોણીય વેગમાનને બાદ કરવું પડે અથવ તમે તેને આ પ્રમાણે પણ લખી શકો વત્તા M ગુણ માઈનસ ૨ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ ગુણ્યાં કેપિટલ R જે ૪ મીટર જ થશે તમે અહીં પ્લસ મૂકી શકો અને કૌંશમાં માઈનસ મૂકી શકો અથવા અહીં બહાર મૅઈનર્સની નિશાની મૂકીને કૌંસહમ પ્લસ લખી શકો તમે કોઈ પણ રીતે ગણી શકો પરંતુ અહીં બોલમાં અંતિમ કોણીય વેગમાં વાળા પેડ પાસે રન નિશાની હોવી જોયીયે પુનરાવર્તન કરીયે તો બોલ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય તો પણ તેની પાસે કોણીય વેગમાં હોય શકે અને તમે આ સૂત્ર MVR સાઈન થિતનો ઉપયોગ કરીને જેનું કોણીય વેગમાં શોધી શકાયો જ્યાં સ્મોલ r જે અક્ષથી જ્યાં દળ રાખવામાં આવ્યું છે તેની વચ્ચેનું અંતર છે અને થિટા એ R અને વેગ વચ્ચેનો ખૂણો છે અને જો તમે R અને સાઈન થિતનો ઉપયોગ ન કરવા માંગો તો તમે તેની જગ્યાએ કેપિટલ R લખી શકો જ્યાં કેપિટલ R એ અક્ષથી સૌથી નજીક ના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે જયારે આ બોલ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય