મુખ્ય વિષયવસ્તુ

Course: ધોરણ 11 ભૌતિક વિજ્ઞાન (ભારત) > Unit 10

Lesson 5: સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા અને હૂકનો નિયમ

સ્થિતિસ્થપાક સ્થિતિ ઊર્જા શું છે?

સ્થિતિસ્થપાક સ્થિતિ ઊર્જાનો અર્થ શું થાય અને તેની ગણતરી કઈ રીતે થાય તે શીખો.

સ્થિતિસ્થપાક સ્થિતિ ઊર્જા શું છે?

સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થના આકારને બદલવા બળ લગાડવાના પરિણામે સંગ્રહ પામતી ઊર્જા સ્થિતિસ્થપાક સ્થિતિ ઊર્જા છે. બળ દૂર ન થાય અને પદાર્થ પાછો પોતાના મૂળ આકારમાં ન આવી જાય ત્યાં સુધી ઊર્જાનો સંગ્રહ થાય છે, પ્રક્રિયામાં કાર્ય થાય છે. વિકૃતિમાં સંકોચન, ખેંચાણ અથવા પદાર્થને વાળવાનો સમાવેશ થઈ શકે. ઘણાં પદાર્થોની રચના ખાસ કરીને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકે એવી હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

વાઈન્ડ અપ ક્લોકની કોઇલ સ્પ્રિંગ
આર્ચરે ખેંચેલું કમાન
ડાઈવર કૂદકો મારે એ પહેલા, વળેલું બોર્ડ
વળેલું રબર બેન્ડ જે રમકડાંના વિમાનને પાવર આપે છે
ઊછળતો બોલ, ઈંટની દિવાલ સાથે અથડાય તે ક્ષણે સંકોચાય છે.

સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનો સંગ્રહ કરવા માટે બનાવેલા પદાર્થ પાસે સામાન્ય રીતે સ્થિતિસ્થાપક હદ વધુ હશે, બધા જ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો પાસે સહન કરી શકે તેવા બોજની સીમા હોય છે. સ્થિતિસ્થાપક સીમાની ઉપર આકાર બદલવામાં આવે, ત્યારે પદાર્થ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ફરતો નથી. અગાઉની પેઢીમાં, સ્પ્રિંગ કોઇલ વડે ચાલતી વાઈન્ડ-અપ યાંત્રિક ઘડિયાળ ઘણી જ પ્રચલિત હતી. વર્તમાન સમયમાં, આપણે વાઈન્ડ-અપ સ્માર્ટફોન વાપરતા નથી કારણકે વધુ ઊર્જા ઘનતા સાથે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનો સંગ્રહ કરી શકે એવી પૂરતી સ્થિતિસ્થાપક સીમા સાથે કોઈ પદાર્થ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

આદર્શ સ્પ્રિંગ માટે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાની ગણતરી કઈ રીતે કરી શકાય?

હુકનો નિયમ અને સ્થિતિસ્થાપકતા પરનો આપણો આર્ટીકલ ચર્ચા કરે છે કે આદર્શ સ્પ્રિંગના કારણે બળ

F

નું માન સંકોચાયેલી અથવા વિસ્તરેલી તેની લંબાઈ

Δ x

પર કઈ રીતે સુરેખીય રીતે આધાર રાખે છે,

F = k \cdot Δ x

જ્યાં

k

કોઈક ધન સંખ્યા છે જેને સ્પ્રિંગ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ બળ સંરક્ષી બળ છે અને સંરક્ષી બળ પાસે તેમની સાથે જોડાયેલી સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.

ઘણા પ્રશ્નોમાં સ્પ્રિંગના કારણે લાગતા બળની દિશા ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય છે. કારણકે બળની દિશા વિસ્તરણની દિશાની વિરુદ્ધમાં હોય છે, ઋણ નિશાની સામાન્ય રીતે ઉમેરવામાં આવે છે. હુકનો નિયમ અને સ્થિતિસ્થાપકતા પરનો આપણો આર્ટીકલ આની વધુ ચર્ચા કરે છે. આ ઉદાહરણમાં આપણે ઊર્જા શોધવાની જરૂર છે. ઊર્જા અદિશ રાશિ છે તેથી અહીં બળની દિશા મહત્વની નથી.

કાર્યની વ્યાખ્યા પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બળ વડે થતું કાર્ય આપે. આકૃતિ 1 સ્પ્રિંગ માટે બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ બતાવે છે. કારણકે વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ છે અને આદર્શ સ્પ્રિંગમાં કોઈ ઊર્જા ગુમાવતી નથી, સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા

U

ને થતા કાર્ય પરથી શોધી શકાય

\begin{aligned} U & = \frac{1}{2} (Δ x) \cdot k (Δ x) \\ = \frac{1}{2} k (Δ x)^{2} \end{aligned}

મહાવરો 1: ટ્રકની સ્પ્રિંગ પાસે સ્પ્રિંગનો અચળાંક

5 \cdot 10^{4} N / m

છે. જયારે તે ભારવિહીન હોય ત્યારે, ટ્રક 0.8 m રસ્તાની ઉપર છે. જયારે તેમાં માળ ભરવામાં આવે, ત્યારે તે જમીનથી 0.7 m નીચી આવી જાય છે. ચાર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહાયેલી સ્થિતિ ઊર્જા કેટલી છે?

ટ્રકની ઊંચાઈનો તફાવત 0.1 m, (0.8 m – 0.7 m) છે. આ આપણને સ્પ્રિંગનું સંકોચન

Δ x

જણાવે છે. સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિ ઊર્જા માટેના સમીકરણમાં તેને મૂકતા:

\begin{aligned} U & = \frac{1}{2} k (Δ x)^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^{4} N / m \cdot (0.1 m)^{2} \\ = 250 J / spring \\ = 1000 J \end{aligned}

મહાવરો 2a: ટ્રેઈન્ડ આર્ચર પાસે 300 N સુધીના બળ સાથે લોન્ગબૉ ખેંચવાની ક્ષમતા છે, દોરીને 0.6 m જેટલી પાછળ ખેંચે છે. ધારો કે બૉ આદર્શ સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે, કયો સ્પ્રિંગ અચળાંક આર્ચરને પોતાની સંપૂર્ણ પ્રબળતાનો ઉપયોગ કરવાની અનુમતિ આપે?

મહાવરો 2b: બૉ ને ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેમાં સંગ્રહાયેલી સ્થિતિ ઊર્જા શું છે?

મહાવરો 2c: ધારો કે એરોનું દળ 30 g છે, અંદાજે તેને કઈ ઝડપે છોડવામાં આવે છે?

આપણે જાણીએ છીએ કે એરોની ગતિઊર્જાનો એકમાત્ર સ્ત્રોત એરોની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા છે. એરો બૉ માંથી નીકળી જાય ત્યારબાદ તરત જ એરો પર કોઈપણ કાર્ય કરવા ખેંચાણ માટે ત્યાં કોઈ પૂરતો સમય નથી. તેથી આપણે ગાતિઊર્જા પરથી વેગ શોધવા માટે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરી શકીએ.

\frac{1}{2} m v^{2} = U

\begin{aligned} v & = \sqrt{\frac{2 U}{m}} \\ = \sqrt{\frac{2 \cdot 90 J}{0.03 kg}} \\ ≃ 77.5 m / s \end{aligned}

મહાવરો 2d: ધારો કે હાઈ સ્પીડ કેમેરા પરથી માપન ઊર્જા સંરક્ષણના અનુમાન કરતા તીરને ઓછી ઝડપે ફરતો બતાવે છે. શું ત્યાં કોઈ કાર્ય થાય છે જેની ગણતરી આપણે નથી કરી?

જે ક્ષણે તીર કમાનમાંથી બહાર નીકળે, કમાનનો ભાગ જે તીર સાથે સંપર્કમાં છે તે જરૂરિયાતપણે કમાનની ઝડપે જ ફરે છે. તીરની સરખામણીમાં દોરી ખુબ જ હલકી હોય છે, તેમછતાં કમાન તીરમાંથી બહાર નીકળે ત્યારે દોરી (અને કમાનનો ભાગ) પાસે કેટલીક ગતિઊર્જા હશે જેને આપણે ગણતરીમાં નથી લેતા.
કમાન કદાચ આદર્શ સ્પ્રિંગ ન હોઈ શકે. આર્ચર વડે થતું કેટલુંક કાર્યનો કમાનમાં ઉષ્મા તરીકે વ્યય પામે છે.

વાસ્તવિક સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો કયા છે?

હૂકનો નિયમ અને સ્થિતિસ્થાપકતા પરના આર્ટીકલમાં, આપણે ચર્ચા કરી હતી કે વાસ્તવિક સ્પ્રિંગ ફક્ત બળના ચોક્કસ વિસ્તાર માટે જ હૂકના નિયમનું પાલન કઈ રીતે કરે છે. કેટલાક સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો જેવા કે રબર બેન્ડ અને સ્થિતિસ્થાપક પ્લાસ્ટિક સ્પ્રિંગ તરીકે કામ કરી શકે પણ તેમની પાસે ઘણી વાર હિસ્ટરીસીસ હોય છે; આનો અર્થ થાય કે પદાર્થ સંતુલિત સ્થાન પર ફરી પાછો આવે તેની સરખામણીમાં જયારે તેનો આકાર બદલાય ત્યારે બળ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ વક્ર જુદો પથ લે છે

કાર્યની વ્યાખ્યાને લાગુ પાડવાની સામાન્ય રીત એ છે કે આદર્શ સ્પ્રિંગ સામાન્ય રીતે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ તરીકે પણ કામ કરે છે. સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જાને બળ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ પરથી પણ શોધી શકાય, વક્રનો આકાર મહત્વનો નથી.

આગળના અવલોકનમાં, આપણે એક-પરિમાણીય પદાર્થ તરીકે આદર્શ સ્પ્રિંગને ધ્યાનમાં લઈએ. વાસ્તવમાં,સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો ત્રિ-પરિમાણીય હોય છે. સમાન પદ્ધતિ હજુ પણ લાગુ પાડી શકાય. બળ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ વક્ર તણાવ વિરુદ્ધ વિકૃતિ વક્રને સમકક્ષ જ છે.

પ્રતિબળ એ પદાર્થનો આકાર બદલવા માટે બળ પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ છે. તેનો SI એકમ $N / m^{2}$ ‍ છે.
વિકૃતિ એ પદાર્થના આકાર બદલાવાનું માપન છે. તે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $Δ l$ ‍ અને મૂળભૂત લંબાઈ $l$ ‍ નો ગુણોત્તર છે, દા.ત. બળ જે દિશામાં લાગી રહ્યું છે તે જ દિશામાં $Δ l / l$ ‍.

જ્યાં ત્રિ-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ હૂકના નિયમનું પાલન કરે છે,

ઊર્જા / ઘનફળ = \frac{1}{2} (પ્રતિબળ \cdot વિકૃતિ)

વિકૃતિ પદાર્થના આકારમાં થતો કુલ ફેરફાર અને પ્રારંભિક પરિમાણનો ગુણોત્તર $Δ x / x$ ‍ છે જેમાં બળને લાગુ પાડવામાં આવે છે. આ ગુણોત્તર છે, તેથી તે એકમરહિત છે. તણાવ વિરુદ્ધ વિકૃતિના વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ પાસે તણાવની જેમ જ સમાન એકમ છે.
તણાવ નું માપન ન્યુટન પ્રતિ ચોરસ મીટરમાં કરવામાં આવે છે. ઊર્જા-કાર્ય પ્રમેય મુજબ, ન્યુટનને $J \cdot m^{- 1}$ ‍ તરીકે પણ લખી શકાય. તેથી બળ પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળને પણ $\frac{J \cdot m^{- 1}}{m^{2}} = J / m^{3}$ ‍ તરીકે પણ લખી શકાય . તેથી બંને એકમો પરિમાણીય રીતે સુસંગત છે.

મહાવરો 3: Fઆકૃતિ 3 રબર બેન્ડ માટે તણાવ વિરુદ્ધ વિકૃતિનો આલેખ બતાવે છે. તે જેમ ખેચાયેલું હોય, તેમ વક્ર ઉપરનો પથ લે છે. રબર બેન્ડ આદર્શ નથી, તેથી મૂળ સ્થિતિમાં આવતી વખતે આપેલા વિસ્તરણ માટે તે ઓછું બળ આપે છે. જાંબલી છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ મહત્તમ વિસ્તરણ આગળ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા બતાવે છે. બોજ અને બોજરહિત પરિસ્થિતિ વચ્ચે ક્ષેત્રફળમાં તફાવત પીળા રંગમાં બતાવેલો છે. જેમ બેન્ડ ખેંચાયેલી અને મૂળ સ્થિતિ વચ્ચે ફર્યા કરે એમ આ ઊર્જા બતાવે છે જે ઉષ્મા ગુમાવે છે.

જો રબર બેન્ડની લંબાઈ

100 mm

, પહોળાઈ

10 mm

અને જાડાઈ

1 mm

હોય તો જયારે રબર બેન્ડને ખેંચીને મુક્ત કરીએ ત્યારે તેમાં કેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય?

વક્રમાં પીળા રંગમાં છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ ઉષ્મામાં ગુમાવતી ઊર્જા દર્શાવે છે. આપણે ઊર્જા પ્રતિ ગ્રીડ-ચોરસ શોધી શકીએ:

એક શિરોલંબ વિભાગ

0.05 N / {mm}^{2}

છે જે SI એકમમાં

5 \cdot 10^{4} N / m^{2}

છે.

એક સમક્ષિતિજ વિભાગ

0.05

છે, તેથી એક ચોરસ દર્શાવે

2500 J / m^{3}

છે.

પીળું ક્ષેત્રફળ અંદાજે 24 ચોરસ છે, તેથી

24 \cdot 2500 J / m^{3} = 6 \cdot 10^{4} J / m^{3}

દર્શાવે છે.

રબરનું ઘનફળ

(0.1 \cdot 0.01 \cdot 0.001) = 1 \cdot 10^{- 6} m^{3}

તેથી અંતે, ઉષ્મા ઊર્જા

(6 \cdot 10^{4}) \cdot (1 \cdot 10^{- 6}) = 0.06 J

એટ્રીબ્યુશન

[1] http://itila.blogspot.com/2014/05/સ્પ્રિંગની-ઊર્જા-ઘનતા.html

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.